2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$)とします。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めます。 (2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めます。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ ... ① を解き、さらに不等式①と $k \le x$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$)とします。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めます。

(2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めます。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ ... ① を解き、さらに不等式①と $k \le x$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

解の公式は $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ なので、$A = 1, B = -4, C = -2$ を代入すると、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ より、 $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2)

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

$a+b = (2 - \sqrt{6}) + (2 + \sqrt{6}) = 4$

$ab = (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 4 - 6 = -2$

$a^2 + b^2 = 4^2 - 2(-2) = 16 + 4 = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{20}{-2} = -10$

(3)

$|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$

$|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{1}{\frac{a}{b}}|$

$|\frac{a}{b}| = |\frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}}| = |\frac{(2-\sqrt{6})^2}{(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})}| = |\frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4-6}| = |\frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2}| = | -5 + 2\sqrt{6}| = 2\sqrt{6} - 5$

不等式は $|x - (2\sqrt{6}-5)| \le \frac{1}{2\sqrt{6}-5} = 2\sqrt{6}+5$ となる。

$-(2\sqrt{6}+5) \le x - (5-2\sqrt{6}) \le (2\sqrt{6}+5)$

$-2\sqrt{6}-5 + 5-2\sqrt{6} \le x \le 2\sqrt{6}+5 + 5-2\sqrt{6}$

$-4\sqrt{6} \le x \le 10$

$a = -4\sqrt{6} \approx -4(2.449) \approx -9.796$

$-9 \le x \le 10$ の範囲の整数

不等式①と $k \le x$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在する必要がある。

$-4\sqrt{6} \le x \le 10$ より整数は -9, -8, ..., 9, 10 の20個の整数。

$x$ が2個だけとなるのは $k=9$のとき$x=9, 10$となる。

$k=8$だと$x=8,9,10$となるので$k > 8$

$k=10$のとき、$x=10$なので１個

$k=11$のとき、$x$は存在しない。

求める$k$の範囲は$8 < k \le 9$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20, \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $-4\sqrt{6} \le x \le 10$, $8 < k \le 9$