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与えられた行列の逆行列を基本変形を用いて求めます。 1. 行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

代数学行列逆行列基本変形線形代数
2025/6/28
はい、承知いたしました。行列の逆行列を基本変形を用いて求める問題ですね。

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を基本変形を用いて求めます。

1. 行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

2. 行列 $B = \begin{pmatrix} 10 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & -3 & -1 \\ 0 & -3 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の逆行列を求めるためには、拡大行列を作り、基本変形を行って単位行列に変形させます。

1. 行列 $A$ について

拡大行列 (A∣I)(A|I) を作ります。
(308∣100112∣010233∣001)\begin{pmatrix} 3 & 0 & 8 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
1行目と2行目を入れ替えます。
(112∣010308∣100233∣001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 8 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2行目から1行目の3倍を引きます。
3行目から1行目の2倍を引きます。
(112∣0100−32∣1−3001−1∣0−21)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & | & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}
2行目と3行目を入れ替えます。
(112∣01001−1∣0−210−32∣1−30)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & | & 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}
3行目に2行目の3倍を加えます。
(112∣01001−1∣0−2100−1∣1−93)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & -9 & 3 \end{pmatrix}
3行目に-1をかけます。
(112∣01001−1∣0−21001∣−19−3)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 9 & -3 \end{pmatrix}
2行目に3行目を加えます。
1行目から3行目の2倍を引きます。
(110∣2−176010∣−17−2001∣−19−3)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 2 & -17 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 7 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 9 & -3 \end{pmatrix}
1行目から2行目を引きます。
(100∣3−248010∣−17−2001∣−19−3)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 3 & -24 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 7 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 9 & -3 \end{pmatrix}
したがって、A−1=(3−248−17−2−19−3)A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -24 & 8 \\ -1 & 7 & -2 \\ -1 & 9 & -3 \end{pmatrix}

2. 行列 $B$ について

拡大行列 (B∣I)(B|I) を作ります。
(10301∣100033−3−1∣01000−352∣00101−121∣0001)\begin{pmatrix} 10 & 3 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & -3 & -1 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 5 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
4行目と1行目を入れ替えます。
(1−121∣000133−3−1∣01000−352∣001010301∣1000)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & -3 & -1 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 5 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 10 & 3 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
2行目から1行目の3倍を引きます。
4行目から1行目の10倍を引きます。
(1−121∣000106−9−4∣010−30−352∣0010013−20−9∣100−10)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & -9 & -4 & | & 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & -3 & 5 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 13 & -20 & -9 & | & 1 & 0 & 0 & -10 \end{pmatrix}
2行目と3行目を入れ替えます。
(1−121∣00010−352∣001006−9−4∣010−3013−20−9∣100−10)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 5 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & -9 & -4 & | & 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 13 & -20 & -9 & | & 1 & 0 & 0 & -10 \end{pmatrix}
3行目に2行目の2倍を加えます。
4行目に2行目の13/3倍を加えます。
(1−121∣00010−352∣00100010∣012−30053−13∣10133−10)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 5 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & -\frac{1}{3} & | & 1 & 0 & \frac{13}{3} & -10 \end{pmatrix}
4行目から3行目の5/3倍を引きます。
(1−121∣00010−352∣00100010∣012−3000−13∣1−531−5)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 5 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & | & 1 & -\frac{5}{3} & 1 & -5 \end{pmatrix}
4行目に-3をかけます。
(1−121∣00010−352∣00100010∣012−30001∣−35−315)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 5 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -3 & 5 & -3 & 15 \end{pmatrix}
2行目から4行目の2倍を引きます。
1行目から4行目を引きます。
(1−120∣3−53−140−350∣6−107−300010∣012−30001∣−35−315)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 & | & 3 & -5 & 3 & -14 \\ 0 & -3 & 5 & 0 & | & 6 & -10 & 7 & -30 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -3 & 5 & -3 & 15 \end{pmatrix}
2行目から3行目の5倍を引きます。
1行目から3行目の2倍を引きます。
(1−100∣3−7−1−80−300∣6−15−3−150010∣012−30001∣−35−315)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & | & 3 & -7 & -1 & -8 \\ 0 & -3 & 0 & 0 & | & 6 & -15 & -3 & -15 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -3 & 5 & -3 & 15 \end{pmatrix}
2行目に-1/3をかけます。
(1−100∣3−7−1−80100∣−25150010∣012−30001∣−35−315)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & | & 3 & -7 & -1 & -8 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & -2 & 5 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -3 & 5 & -3 & 15 \end{pmatrix}
1行目に2行目を加えます。
(1000∣1−20−30100∣−25150010∣012−30001∣−35−315)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & -2 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & -2 & 5 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -3 & 5 & -3 & 15 \end{pmatrix}
したがって、B−1=(1−20−3−2515012−3−35−315)B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -3 \\ -2 & 5 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ -3 & 5 & -3 & 15 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

A−1=(3−248−17−2−19−3)A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -24 & 8 \\ -1 & 7 & -2 \\ -1 & 9 & -3 \end{pmatrix}
B−1=(1−20−3−2515012−3−35−315)B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -3 \\ -2 & 5 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ -3 & 5 & -3 & 15 \end{pmatrix}

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