2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $a^2 + b^2$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 不等式 $\left|x - \frac{a}{b}\right| \le \left|\frac{b}{a}\right|$ ...① を解け。また、不等式①と $x \le k$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a^2 + b^2$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 不等式 $\left|x - \frac{a}{b}\right| \le \left|\frac{b}{a}\right|$ ...① を解け。また、不等式①と $x \le k$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の解を求める。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ より、$a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ を求める。

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{20}{ab}$

$ab = (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 4 - 6 = -2$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{20}{-2} = -10$

(3) 不等式 $\left|x - \frac{a}{b}\right| \le \left|\frac{b}{a}\right|$ を解く。

$\left|x - \frac{a}{b}\right| \le \left|\frac{b}{a}\right|$ より、$-\left|\frac{b}{a}\right| \le x - \frac{a}{b} \le \left|\frac{b}{a}\right|$

$\frac{a}{b} - \left|\frac{b}{a}\right| \le x \le \frac{a}{b} + \left|\frac{b}{a}\right|$

$\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

$\frac{b}{a} = \frac{1}{a/b} = \frac{1}{-5 + 2\sqrt{6}} = \frac{-5 - 2\sqrt{6}}{(-5 + 2\sqrt{6})(-5 - 2\sqrt{6})} = \frac{-5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = -5 - 2\sqrt{6}$

$\left|\frac{b}{a}\right| = |-5 - 2\sqrt{6}| = 5 + 2\sqrt{6}$

$-5 + 2\sqrt{6} - (5 + 2\sqrt{6}) \le x \le -5 + 2\sqrt{6} + (5 + 2\sqrt{6})$

$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$

$4\sqrt{6} \approx 4 \times 2.449 = 9.796$

よって、$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$

不等式 $x \le k$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在する条件を考える。

$-10 \le x \le 4\sqrt{6} \approx 9.796$ を満たす整数は、$-10, -9, ..., 8, 9$ である。

$x \le k$ を満たす整数が2個だけ存在するのは、$-9 \le k < -8$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $-10 \le x \le 4\sqrt{6}$, $-9 \le k < -8$