2次不等式 $x^2+2x+m(m-4) \ge 0$ が、指定された範囲で常に成り立つような定数 $m$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2+2x+m(m-4) \ge 0$ が、指定された範囲で常に成り立つような定数 $m$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次不等式を $f(x) = x^2 + 2x + m(m-4)$ とおきます。

この不等式が与えられた範囲で常に成り立つためには、その範囲における $f(x)$ の最小値が0以上であれば良いことになります。

(1) $x \le 1$ の範囲

$f(x) = x^2 + 2x + m(m-4) = (x+1)^2 - 1 + m(m-4)$

頂点は $x = -1$ であり、軸は $x = -1$ です。

範囲 $x \le 1$ を考えると、$x=-1$ はこの範囲に含まれます。

$f(x)$ は $x=-1$ で最小値を取ります。したがって、$f(-1) \ge 0$ であれば良いです。

$f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + m(m-4) = 1 - 2 + m^2 - 4m = m^2 - 4m - 1 \ge 0$

$m^2 - 4m - 1 = 0$ を解くと、 $m = \frac{4 \pm \sqrt{16+4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

したがって、$m \le 2 - \sqrt{5}$ または $m \ge 2 + \sqrt{5}$ となります。

(2) $1 \le x \le 4$ の範囲

$f(x) = (x+1)^2 - 1 + m(m-4)$

軸は $x = -1$ です。範囲 $1 \le x \le 4$ を考えると、軸は範囲外なので、$f(x)$ は範囲内で単調増加です。

したがって、$x=1$ で最小値を取ります。

$f(1) = 1^2 + 2(1) + m(m-4) = 1 + 2 + m^2 - 4m = m^2 - 4m + 3 \ge 0$

$m^2 - 4m + 3 = (m-1)(m-3) \ge 0$

したがって、$m \le 1$ または $m \ge 3$ となります。

(3) $4 \le x$ の範囲

$f(x) = (x+1)^2 - 1 + m(m-4)$

軸は $x = -1$ です。範囲 $4 \le x$ を考えると、軸は範囲外なので、$f(x)$ は範囲内で単調増加です。

したがって、$x=4$ で最小値を取ります。

$f(4) = 4^2 + 2(4) + m(m-4) = 16 + 8 + m^2 - 4m = m^2 - 4m + 24 \ge 0$

$m^2 - 4m + 24 = (m-2)^2 + 20 \ge 0$

これは常に成り立つので、$m$ はすべての実数となります。

3. 最終的な答え

(1) $m \le 2 - \sqrt{5}$ または $m \ge 2 + \sqrt{5}$

(2) $m \le 1$ または $m \ge 3$

(3) $m$ はすべての実数