2次関数 $y = -x^2 - 2mx - 2m - 3$ のグラフが与えられた条件を満たすとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。 (1) グラフが $x$ 軸の $x > -4$ の部分と異なる2点で交わる。 (2) グラフが $x$ 軸の $x > -2$ の部分と $x < -2$ の部分でそれぞれ交わる。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 2mx - 2m - 3$ のグラフが与えられた条件を満たすとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

(1) グラフが $x$ 軸の $x > -4$ の部分と異なる2点で交わる。

(2) グラフが $x$ 軸の $x > -2$ の部分と $x < -2$ の部分でそれぞれ交わる。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 - 2mx - 2m - 3$ より $y = -(x^2 + 2mx + 2m + 3)$

グラフが $x$ 軸の $x > -4$ の部分と異なる2点で交わるための条件は次の3つです。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸の位置 $x = -m > -4$

(iii) $f(-4) > 0$

(i) 判別式について

$D/4 = m^2 - (2m + 3) > 0$

$m^2 - 2m - 3 > 0$

$(m - 3)(m + 1) > 0$

$m < -1$ または $m > 3$

(ii) 軸の位置について

$-m > -4$

$m < 4$

(iii) $f(-4) > 0$ について

$f(-4) = -((-4)^2 + 2m(-4) + 2m + 3) > 0$

$f(-4) = -(16 - 8m + 2m + 3) > 0$

$-(19 - 6m) > 0$

$19 - 6m < 0$

$6m > 19$

$m > \frac{19}{6}$

(i), (ii), (iii) のすべてを満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -1$ または $m > 3$, $m < 4$, $m > \frac{19}{6}$

$\frac{19}{6} \approx 3.166...$ なので、

$\frac{19}{6} < m < 4$

(2) グラフが $x$ 軸の $x > -2$ の部分と $x < -2$ の部分でそれぞれ交わるための条件は、$f(-2) < 0$ であることです。

$f(-2) = -((-2)^2 + 2m(-2) + 2m + 3) < 0$

$f(-2) = -(4 - 4m + 2m + 3) < 0$

$-(7 - 2m) < 0$

$7 - 2m > 0$

$2m < 7$

$m < \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{19}{6} < m < 4$

(2) $m < \frac{7}{2}$