与えられた連立一次方程式を解きます。方程式は行列形式で記述されており、未知数は $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$です。 $ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 3 \\ 3 & 12 & 0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解きます。方程式は行列形式で記述されており、未知数は $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$です。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & -2 & 3 \\

3 & 12 & 0 & 6

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

3 \\ 0

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を行列の形で書き直します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & -2 & 3 \\

3 & 12 & 0 & 6

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

3 \\ 0

\end{bmatrix}

$$

この連立方程式を解くために、拡大係数行列を作成し、行基本変形を行います。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & -2 & 3 & | & 3 \\

3 & 12 & 0 & 6 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

2行目から1行目の3倍を引きます (R2 -> R2 - 3R1):

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & -2 & 3 & | & 3 \\

0 & 3 & 6 & -3 & | & -9

\end{bmatrix}

$$

2行目を3で割ります (R2 -> R2 / 3):

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & -2 & 3 & | & 3 \\

0 & 1 & 2 & -1 & | & -3

\end{bmatrix}

$$

1行目から2行目の3倍を引きます (R1 -> R1 - 3R2):

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -8 & 6 & | & 12 \\

0 & 1 & 2 & -1 & | & -3

\end{bmatrix}

$$

これにより、次の連立方程式が得られます。

$x_1 - 8x_3 + 6x_4 = 12$

$x_2 + 2x_3 - x_4 = -3$

$x_3$と$x_4$を自由変数として、$x_3 = s$, $x_4 = t$ とおきます。

すると、$x_1$と$x_2$は次のように表されます。

$x_1 = 12 + 8s - 6t$

$x_2 = -3 - 2s + t$

したがって、解は次のようになります。

$$

\begin{bmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

12 + 8s - 6t \\

-3 - 2s + t \\

s \\

t

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

12 \\ -3 \\ 0 \\ 0

\end{bmatrix}

+

s

\begin{bmatrix}

8 \\ -2 \\ 1 \\ 0

\end{bmatrix}

+

t

\begin{bmatrix}

-6 \\ 1 \\ 0 \\ 1

\end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

連立一次方程式の解は、

$$

\begin{bmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

12 \\ -3 \\ 0 \\ 0

\end{bmatrix}

+

s

\begin{bmatrix}

8 \\ -2 \\ 1 \\ 0

\end{bmatrix}

+

t

\begin{bmatrix}

-6 \\ 1 \\ 0 \\ 1

\end{bmatrix}

$$

ここで、$s$と$t$は任意の実数です。