2点A(2, 3), B(-1, 4)を結ぶ線分（両端を含む）を直線 $y = ax + 1$ が通るような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2点A(2, 3), B(-1, 4)を結ぶ線分（両端を含む）を直線 $y = ax + 1$ が通るような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線 $y = ax + 1$ が点A(2, 3)を通る時の $a$ の値を求めます。

$x = 2$, $y = 3$ を $y = ax + 1$ に代入すると、

$3 = 2a + 1$

$2a = 2$

$a = 1$

次に、直線 $y = ax + 1$ が点B(-1, 4)を通る時の $a$ の値を求めます。

$x = -1$, $y = 4$ を $y = ax + 1$ に代入すると、

$4 = -a + 1$

$a = -3$

$y = ax + 1$ は、 $y - ax - 1 = 0$ と書き換えられます。

点A, Bを結ぶ線分上の点を直線が通る条件は、

$(y_A - a x_A - 1)(y_B - a x_B - 1) \le 0$

が成立することです。

すでに、$y_A - a x_A - 1 = 3 - 2a - 1 = 2 - 2a = 2(1 - a)$

および、$y_B - a x_B - 1 = 4 + a - 1 = 3 + a$

を求めています。

したがって、$2(1-a)(3+a) \le 0$となり、

$(1-a)(3+a) \le 0$

$(a-1)(a+3) \ge 0$

これを解くと、$a \le -3$ または $a \ge 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a \le -3$ または $a \ge 1$