問題は、絶対値記号を含む方程式と不等式を解くことです。具体的には、(1) $|x+1|=3x$、(2) $|x-3|=-2x$、(3) $|2x|+|x-2|=6$、(4) $|x+1|>3x$、(5) $|x-3|\leq -2x$、(6) $|2x|+|x-2|<6$ を解く必要があります。

1. 問題の内容

問題は、絶対値記号を含む方程式と不等式を解くことです。具体的には、(1) $|x+1|=3x$、(2) $|x-3|=-2x$、(3) $|2x|+|x-2|=6$、(4) $|x+1|>3x$、(5) $|x-3|\leq -2x$、(6) $|2x|+|x-2|<6$ を解く必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $|x+1|=3x$

$x+1 = 3x$ の場合:

$1 = 2x$

$x = \frac{1}{2}$

$x+1 = -3x$ の場合:

$4x = -1$

$x = -\frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$ は、$3x = \frac{3}{2} \geq 0$ かつ $x+1 = \frac{3}{2} \geq 0$ なので、$x \geq -1$ と $x\geq 0$ を満たすため、解として適する。

$x = -\frac{1}{4}$ は、$3x = -\frac{3}{4} \geq 0$を満たさないので解ではない。

(2) $|x-3|=-2x$

$x-3 = -2x$ の場合:

$3x = 3$

$x = 1$

$x-3 = 2x$ の場合:

$-x = 3$

$x = -3$

$x=1$ のとき、$-2x = -2 <0$ なので、$|x-3|$は正の値を取ることはないため、解は存在しない。

$x=-3$のとき、$-2x = 6 \geq 0$なので、$|x-3| = |-3-3| = |-6|=6=-2(-3)$なので解として適する。

(3) $|2x|+|x-2|=6$

場合分けをします。

(i) $x<0$のとき

$-2x - (x-2) = 6$

$-3x + 2 = 6$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

$-\frac{4}{3}<0$ なので、$x = -\frac{4}{3}$ は解です。

(ii) $0\leq x < 2$のとき

$2x - (x-2) = 6$

$x + 2 = 6$

$x = 4$

$0\leq x < 2$を満たさないので、$x = 4$ は解ではありません。

(iii) $x \geq 2$のとき

$2x + (x-2) = 6$

$3x - 2 = 6$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

$\frac{8}{3}\geq 2$を満たすので、$x = \frac{8}{3}$ は解です。

(4) $|x+1|>3x$

$x+1>3x$ の場合:

$1 > 2x$

$x < \frac{1}{2}$

$x+1 < -3x$ の場合:

$4x < -1$

$x < -\frac{1}{4}$

$x<-\frac{1}{4}$の場合は常に成り立つ。$-\frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2}$の場合は$x+1 \geq 0$なので成り立つ。$x \geq \frac{1}{2}$のときは $|x+1|>3x$は成立しない。

(5) $|x-3|\leq -2x$

$x-3 \leq -2x$ の場合:

$3x \leq 3$

$x \leq 1$

$x-3 \geq 2x$ の場合:

$-x \geq 3$

$x \leq -3$

$x\leq -3$のとき、$|x-3| = 3-x \leq -2x$より $x\leq -3$

(6) $|2x|+|x-2|<6$

場合分けをします。

(i) $x<0$のとき

$-2x - (x-2) < 6$

$-3x + 2 < 6$

$-3x < 4$

$x > -\frac{4}{3}$

$-\frac{4}{3} < x < 0$

(ii) $0\leq x < 2$のとき

$2x - (x-2) < 6$

$x + 2 < 6$

$x < 4$

$0\leq x < 2$

(iii) $x \geq 2$のとき

$2x + (x-2) < 6$

$3x - 2 < 6$

$3x < 8$

$x < \frac{8}{3}$

$2 \leq x < \frac{8}{3}$

統合すると、$-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x = -3$

(3) $x = -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}$

(4) $x < \frac{1}{2}$

(5) $x \leq -3$

(6) $-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$