方程式 $z^3 = 8$ を満たす複素数 $z$ について考える。$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ($r>0, 0 \le \theta < 2\pi$) と表すとき、空欄を埋め、複素数平面上でこの3点を頂点とする三角形がどのような三角形であるかを答える。

1. 問題の内容

方程式 $z^3 = 8$ を満たす複素数 $z$ について考える。$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ($r>0, 0 \le \theta < 2\pi$) と表すとき、空欄を埋め、複素数平面上でこの3点を頂点とする三角形がどのような三角形であるかを答える。

2. 解き方の手順

* **1:** $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ より、$z^3 = r^3(\cos3\theta + i\sin3\theta)$ であることはド・モアブルの定理から導かれる。よって、1はド・モアブルの定理である。

* $z^3 = 8$ を極形式で表すと、$z^3 = 8(\cos0 + i\sin0)$ となる。したがって、$r^3 = 8$ より、$r = 2$。

また、$3\theta = 0 + 2k\pi$ ($k$ は整数) より、$\theta = \frac{2k\pi}{3}$。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$k = 0, 1, 2$ なので、$\theta = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$。

選択肢の角度を見ると、$0, \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{6}\pi$ とあるので、$\theta = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ を選択肢の中から選ぶことになる。$\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$ であり、$\frac{4\pi}{3}$ は選択肢にないので、$0, \frac{4\pi}{6}, \frac{8\pi}{6}$ から選ぶこととなる。

$\theta = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ に対応する $z$ は、$z = 2(\cos0 + i\sin0) = 2$, $z = 2(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}$, $z = 2(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}$ である。

したがって、7は2、8は-1、9は3となる。

* 3つの複素数は $2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$ である。複素数平面上でこれらの点を頂点とする三角形を考えると、3点の距離は $|2 - (-1 + i\sqrt{3})| = |3 - i\sqrt{3}| = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $|2 - (-1 - i\sqrt{3})| = |3 + i\sqrt{3}| = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $|-1 + i\sqrt{3} - (-1 - i\sqrt{3})| = |2i\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$ である。3つの辺の長さが全て等しいので、正三角形である。正三角形は長さの等しい辺や大きさの等しい角を持つが、直角を持たない。したがって、10は①である。

3. 最終的な答え

1: ②

7: 2

8: -1

9: 3

10: ①