数列の一般項 $a_n = 1 \cdot 2^{n-1}$ (n=1,2,3,...)が与えられたとき、初項から第n項までの和 $S = a_1 + a_2 + ... + a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列の一般項 $a_n = 1 \cdot 2^{n-1}$ (n=1,2,3,...)が与えられたとき、初項から第n項までの和 $S = a_1 + a_2 + ... + a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ は、初項が1、公比が2の等比数列である。

等比数列の和の公式を用いる。等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数である。

この問題では、$a=1$、$r=2$であるから、

$S = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = \frac{2^n - 1}{1} = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

$S = 2^n - 1$