曲線 $y = ax^2 + bx + c$ が点 $(1, -3)$ を通り、点 $(2, 6)$ において曲線 $y = x^3 + dx$ と共通の接線を持つとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = ax^2 + bx + c$ が点 $(1, -3)$ を通り、点 $(2, 6)$ において曲線 $y = x^3 + dx$ と共通の接線を持つとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = ax^2 + bx + c$ が点 $(1, -3)$ を通ることから、

$a(1)^2 + b(1) + c = -3$

$a + b + c = -3$ ...(1)

次に、曲線 $y = ax^2 + bx + c$ が点 $(2, 6)$ を通ることから、

$a(2)^2 + b(2) + c = 6$

$4a + 2b + c = 6$ ...(2)

曲線 $y = ax^2 + bx + c$ の導関数は $y' = 2ax + b$ である。

曲線 $y = x^3 + dx$ の導関数は $y' = 3x^2 + d$ である。

点 $(2, 6)$ において共通の接線を持つので、それぞれの導関数の値が等しい。

$2a(2) + b = 3(2)^2 + d$

$4a + b = 12 + d$ ...(3)

また、点 $(2, 6)$ は曲線 $y = x^3 + dx$ 上にあるので、

$6 = (2)^3 + d(2)$

$6 = 8 + 2d$

$2d = -2$

$d = -1$

これを(3)に代入して、

$4a + b = 12 - 1 = 11$ ...(4)

(2) - (1) より、

$(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 6 - (-3)$

$3a + b = 9$ ...(5)

(4) - (5) より、

$(4a + b) - (3a + b) = 11 - 9$

$a = 2$

これを(5)に代入して、

$3(2) + b = 9$

$6 + b = 9$

$b = 3$

これを(1)に代入して、

$2 + 3 + c = -3$

$5 + c = -3$

$c = -8$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 3$, $c = -8$, $d = -1$