不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ の解を求め、さらに集合 $A = \{x \mid -8 \le 3x - 5 \le 4\}$ と $B = \{x \mid x \ge a\}$ について、$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ の解を求め、さらに集合 $A = \{x \mid -8 \le 3x - 5 \le 4\}$ と $B = \{x \mid x \ge a\}$ について、$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ を解く。

各辺に $5$ を足すと、

$-8 + 5 \le 3x - 5 + 5 \le 4 + 5$

$-3 \le 3x \le 9$

各辺を $3$ で割ると、

$-1 \le x \le 3$

したがって、集合 $A = \{x \mid -1 \le x \le 3\}$ である。

次に、$A \subset B$ となる条件を考える。

$A \subset B$ であるためには、$A$ のすべての要素が $B$ に含まれていなければならない。

$A$ の要素は $-1 \le x \le 3$ を満たす実数であり、$B$ の要素は $x \ge a$ を満たす実数である。

したがって、$A \subset B$ となるためには、$A$ の最小値 $-1$ が $x \ge a$ を満たせばよい。つまり、$-1 \ge a$ が必要である。

または、$a \le -1$

3. 最終的な答え

不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ の解は、$-1 \le x \le 3$ である。

$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲は、$a \le -1$ である。