$n$番目の図形の面積を$S$ $\text{cm}^2$とするとき、$S = 2n + 1$となることを証明する問題です。1番目の図形の面積が3 $\text{cm}^2$, 2番目の図形の面積が5 $\text{cm}^2$であるという情報が与えられています。問題文中の解答用紙の①、②にはそれぞれ当てはまる式を、③には証明の続きを書く必要があります。

1. 問題の内容

$n$番目の図形の面積を$S$ $\text{cm}^2$とするとき、$S = 2n + 1$となることを証明する問題です。1番目の図形の面積が3 $\text{cm}^2$, 2番目の図形の面積が5 $\text{cm}^2$であるという情報が与えられています。問題文中の解答用紙の①、②にはそれぞれ当てはまる式を、③には証明の続きを書く必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報から$n$番目の図形の面積$S$が$S = 2n + 1$となることを確認します。

* $n = 1$のとき、$S = 2(1) + 1 = 3$ $\text{cm}^2$

* $n = 2$のとき、$S = 2(2) + 1 = 5$ $\text{cm}^2$

したがって、$S = 2n + 1$は$n = 1, 2$のとき成り立つことがわかります。

次に、証明の続きを考えます。この数列が等差数列であることを示し、一般項が$S = 2n + 1$になることを示します。

1. 数列の差を求める：$5-3=2$.

2. $S_n=2n+1$という式は、初項3, 公差2の等差数列を表している。

解答用紙に書く内容を整理します。

① n=1のとき、$S = 2(1) + 1 = 3$

② n=2のとき、$S = 2(2) + 1 = 5$

③ 数列$\{S_n\}$は、初項が3, 公差が2の等差数列であるから、$S_n = 3 + (n-1) \times 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$

よって、$S = 2n + 1$となる。

3. 最終的な答え

① $3$

② $5$

③ 数列$\{S_n\}$は、初項が3, 公差が2の等差数列であるから、$S_n = 3 + (n-1) \times 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$

よって、$S = 2n + 1$となる。