数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = 2a_n - n$で表されるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。 (2) 和$S_n$を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた問題と解答について説明します。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = 2a_n - n$で表されるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

(2) 和$S_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

$S_n = 2a_n - n$ であるから、$S_{n+1} = 2a_{n+1} - (n+1)$である。

$a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$ であるから、$a_{n+1} = (2a_{n+1} - (n+1)) - (2a_n - n)$。

整理すると、$a_{n+1} = 2a_n + 1$となる。

この漸化式を解くために、$a_{n+1} + c = 2(a_n + c)$となるように$c$を定める。

$a_{n+1} = 2a_n + c$と$a_{n+1} = 2a_n + 1$を比較すると、$c = 1$。

したがって、$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$。

これは、数列$\{a_n + 1\}$が公比$2$の等比数列であることを示している。

初項は、$S_1 = a_1 = 2a_1 - 1$より、$a_1 = 1$。よって、$a_1 + 1 = 2$。

したがって、$a_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$。

ゆえに、$a_n = 2^n - 1$。

(2) 和$S_n$を求める。

$S_n = 2a_n - n$に、$a_n = 2^n - 1$を代入すると、$S_n = 2(2^n - 1) - n = 2^{n+1} - 2 - n$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^n - 1$

(2) $S_n = 2^{n+1} - n - 2$