$a$ を定数とする。関数 $y = 2x^2 + 4ax$ （$0 \leq x \leq 2$）の最大値と最小値を、以下の各場合についてそれぞれ求めよ。 (1) $a \leq -2$ (2) $-2 < a < -1$ (3) $a = -1$ (4) $-1 < a < 0$ (5) $a \geq 0$

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = 2x^2 + 4ax$ （$0 \leq x \leq 2$）の最大値と最小値を、以下の各場合についてそれぞれ求めよ。

(1) $a \leq -2$

(2) $-2 < a < -1$

(3) $a = -1$

(4) $-1 < a < 0$

(5) $a \geq 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4ax = 2(x^2 + 2ax) = 2(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) = 2(x+a)^2 - 2a^2$

よって、放物線の軸は $x = -a$ です。定義域は $0 \leq x \leq 2$ です。

(1) $a \leq -2$ のとき、$-a \geq 2$ なので、軸は $x=2$ より右側にあります。したがって、$0 \leq x \leq 2$ において、関数は単調増加です。

最大値は $x=2$ のとき $y = 2(2^2) + 4a(2) = 8 + 8a$

最小値は $x=0$ のとき $y = 2(0^2) + 4a(0) = 0$

(2) $-2 < a < -1$ のとき、$1 < -a < 2$ なので、軸は $1 < x < 2$ の範囲にあります。

最大値は $x=0$ のとき $y=0$、または $x=2$ のとき $y = 8 + 8a$ のいずれかです。

$8 + 8a < 0$ なので、最大値は $0$ です。

最小値は $x = -a$ のとき $y = -2a^2$ です。

(3) $a = -1$ のとき、軸は $x = 1$ です。

最大値は $x=0$ のとき $y=0$、または $x=2$ のとき $y = 8 + 8(-1) = 0$

よって、最大値は $0$ です。

最小値は $x = 1$ のとき $y = 2(1)^2 + 4(-1)(1) = 2 - 4 = -2$ です。

(4) $-1 < a < 0$ のとき、$0 < -a < 1$ なので、軸は $0 < x < 1$ の範囲にあります。

最大値は $x=2$ のとき $y = 8 + 8a$ です。

最小値は $x = -a$ のとき $y = -2a^2$ です。

(5) $a \geq 0$ のとき、$-a \leq 0$ なので、軸は $x=0$ より左側にあります。したがって、$0 \leq x \leq 2$ において、関数は $x=0$ で最小値を取り、単調増加です。

最大値は $x=2$ のとき $y = 8 + 8a$

最小値は $x=0$ のとき $y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a \leq -2$ のとき

最大値：$8 + 8a$

最小値：$0$

(2) $-2 < a < -1$ のとき

最大値：$0$

最小値：$-2a^2$

(3) $a = -1$ のとき

最大値：$0$

最小値：$-2$

(4) $-1 < a < 0$ のとき

最大値：$8 + 8a$

最小値：$-2a^2$

(5) $a \geq 0$ のとき

最大値：$8 + 8a$

最小値：$0$