以下の3つの空間が線形空間（ベクトル空間）かどうかを判定し、その理由を述べよ。 (1) $\mathbb{R}^2$内の放物線 $y = x^2$ (2) $\mathbb{R}^3$内で、$x + 2y - 3z = 0$を満たす点 $x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ の作る図形 (3) $\mathbb{R}^n$内の原点を通らない直線 $x = c + sp$ （$s$ は任意の実数）

1. 問題の内容

以下の3つの空間が線形空間（ベクトル空間）かどうかを判定し、その理由を述べよ。

(1) $\mathbb{R}^2$内の放物線 $y = x^2$

(2) $\mathbb{R}^3$内で、$x + 2y - 3z = 0$を満たす点 $x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ の作る図形

(3) $\mathbb{R}^n$内の原点を通らない直線 $x = c + sp$ （$s$ は任意の実数）

2. 解き方の手順

線形空間であるためには、以下の2つの条件を満たす必要がある。

(i) ゼロベクトルが含まれること

(ii) ベクトル空間の任意の2つの元に対して、その和もまたベクトル空間に含まれること。

(iii) ベクトル空間の任意の元に対して、スカラー倍もまたベクトル空間に含まれること。

(1) $y = x^2$ について

ゼロベクトル $(0, 0)$ がこの集合に含まれるかどうかをチェックする。$x=0$ のとき $y = 0^2 = 0$なので、$(0, 0)$ は含まれる。

次に、この集合の2つの元 $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ を考える。ただし、$y_1 = x_1^2$ および $y_2 = x_2^2$とする。これらの和は $(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ となる。この和が同じ集合に含まれるためには、$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2)^2$ が成り立つ必要がある。

しかし、$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = y_1 + 2x_1x_2 + y_2$ であるため、$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2)^2$ が一般には成り立たない。

例えば、$x_1 = 1$、$x_2 = 1$ のとき、$y_1 = 1$、$y_2 = 1$ である。$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (2, 2)$ であるが、$2 \neq 2^2 = 4$ であるから、$(2, 2)$ は $y = x^2$ 上の点ではない。

また、スカラー倍も同様に考える。$(x, y)$ が集合に含まれるとき、$y = x^2$ が成り立つ。スカラー $k$ をかけると $(kx, ky)$ となる。これが集合に含まれるには $ky = (kx)^2$ が成り立つ必要がある。つまり、$ky = k^2 x^2$ であり、これは $k = k^2$ のときのみ成り立つ。一般には $ky \neq k^2 x^2$ なのでスカラー倍で閉じているとは限らない。

(2) $x + 2y - 3z = 0$ について

ゼロベクトル $(0, 0, 0)$ がこの集合に含まれるかどうかをチェックする。$0 + 2(0) - 3(0) = 0$なので、$(0, 0, 0)$ は含まれる。

次に、この集合の2つの元 $(x_1, y_1, z_1)$ と $(x_2, y_2, z_2)$ を考える。ただし、$x_1 + 2y_1 - 3z_1 = 0$ および $x_2 + 2y_2 - 3z_2 = 0$とする。これらの和は $(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$ となる。この和が同じ集合に含まれるためには、$(x_1 + x_2) + 2(y_1 + y_2) - 3(z_1 + z_2) = 0$ が成り立つ必要がある。

$(x_1 + x_2) + 2(y_1 + y_2) - 3(z_1 + z_2) = (x_1 + 2y_1 - 3z_1) + (x_2 + 2y_2 - 3z_2) = 0 + 0 = 0$ であるから、和も同じ集合に含まれる。

スカラー倍について、$k$ を任意の実数とするとき、$(x, y, z)$ が集合に含まれるならば $x + 2y - 3z = 0$ が成り立つ。スカラー倍したベクトル $(kx, ky, kz)$ について $kx + 2(ky) - 3(kz) = k(x + 2y - 3z) = k(0) = 0$ が成り立つので、スカラー倍も同じ集合に含まれる。

したがって、この集合は線形空間である。

(3) $x = c + sp$ について

ここで、$c$ は定数ベクトル、$p$ は方向ベクトル、$s$ は任意の実数である。

ゼロベクトルが含まれるかどうかをチェックする。もし、$c = 0$ ならば、 $x = sp$となり、ゼロベクトルは $s=0$ の場合に得られる。しかし、問題文に「原点を通らない」とあるので、$c \neq 0$ である。したがって、ゼロベクトルは含まれない。

また、原点を通らない直線なので、ベクトル $c$ はゼロベクトルではない。$s = 0$ のとき、$x = c$ となり、これが原点ではないことを意味する。

もし、$x = c + s_1 p$ および $x' = c + s_2 p$ という2つのベクトルを考えると、$x + x' = 2c + (s_1 + s_2)p$ となる。これは一般に $c + sp$ の形にはならないので、和は同じ集合に含まれるとは限らない。

したがって、この集合は線形空間ではない。

3. 最終的な答え

(1) 線形空間ではない。

(2) 線形空間である。

(3) 線形空間ではない。