箱Eには1, 2, 3, 4の数字が書かれた球がそれぞれ1つずつ入っており、箱Fには1, 3, 5の数字が書かれた球がそれぞれ1つずつ入っています。箱Eから2つの球を順番に取り出し、取り出した球に書かれた数をそれぞれa, bとし、箱Fから2つの球を順番に取り出し、取り出した球に書かれた数をそれぞれc, dとします。S = a + b + c + dと定義します。 (1) a + b = 5となる(a, b)の組の数、c + d = 6となる(c, d)の組の数を求めます。また、S=11となる(a+b, c+d)の組をa+bの値が小さい順に並べ、S=11となる(a, b, c, d)の組の数、S <= 10となる(a, b, c, d)の組の数を求めます。 (2) S <= 10のときX = 1、S = 11のとき、b != cならX = 2、b = cならX = 3、S >= 12のときX = 0と定義します。X = 1となる確率、X = 3となる確率、Xの期待値を求めます。

1. 問題の内容

箱Eには1, 2, 3, 4の数字が書かれた球がそれぞれ1つずつ入っており、箱Fには1, 3, 5の数字が書かれた球がそれぞれ1つずつ入っています。箱Eから2つの球を順番に取り出し、取り出した球に書かれた数をそれぞれa, bとし、箱Fから2つの球を順番に取り出し、取り出した球に書かれた数をそれぞれc, dとします。S = a + b + c + dと定義します。

(1) a + b = 5となる(a, b)の組の数、c + d = 6となる(c, d)の組の数を求めます。また、S=11となる(a+b, c+d)の組をa+bの値が小さい順に並べ、S=11となる(a, b, c, d)の組の数、S <= 10となる(a, b, c, d)の組の数を求めます。

(2) S <= 10のときX = 1、S = 11のとき、b != cならX = 2、b = cならX = 3、S >= 12のときX = 0と定義します。X = 1となる確率、X = 3となる確率、Xの期待値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、(a, b)の取りうる組み合わせを考えます。箱Eからは1, 2, 3, 4の球が取り出されるので、(a, b)の組み合わせは(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)の12通りです。このうち、a + b = 5となるのは(1, 4)と(2, 3), (3, 2), (4, 1)の4通りなので、エ=4となります。

次に、(c, d)の取りうる組み合わせを考えます。箱Fからは1, 3, 5の球が取り出されるので、(c, d)の組み合わせは(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3)の6通りです。このうち、c + d = 6となるのは(1, 5)と(5, 1)のみなので、オ=2となります。

(a, b)の組み合わせは12通り、(c, d)の組み合わせは6通りなので、(a, b)は全部でアイ=12組、(c, d)は全部でウ=6組あります。

S = 11となる(a+b, c+d)を考えます。

S = a + b + c + d = 11なので、a + bとc + dの組み合わせは、(a+b, c+d) = (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2), (10, 1)となります。

しかし、a+bの最小値は1+2=3、最大値は4+3=7であり、c+dの最小値は1+3=4、最大値は5+3=8です。

したがって、S = 11となるのは、(a+b, c+d) = (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4)です。

a+bの値が小さい順に並べると、

(3, 8) -> (1, 2), (8, 3) -> (5, 6)

(4, 7) -> (1, 3), (7, 4) -> (1, 3), (3, 1)

(5, 6) -> (1, 4), (6, 5) -> (1, 5), (2, 4) -> (1, 5), (5, 1)

(6, 5) -> (2, 3)

(7, 4) -> (3, 4) -> (3, 1), (4, 3) -> (3, 1), (1, 3)

(a+b, c+d)の組み合わせは以下の通りです。

(a+b, c+d) = (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4)

(3, 8)となる(a, b, c, d)は(1, 2, 3, 5)と(2, 1, 3, 5)だけです。c+d=8となる組み合わせは(3, 5), (5, 3)の2通りしかありません。

(4, 7)となる(a, b, c, d)は(1, 3, c, d), (3, 1, c, d), (2, 2, c, d) c+d=7となる(c,d)の組み合わせがないので、この場合は存在しません。

(5, 6)となる(a, b, c, d)は、(1, 4, 1, 5), (1, 4, 5, 1), (4, 1, 1, 5), (4, 1, 5, 1)

(6, 5)となる(a, b, c, d)は(2, 4, c, d), (4, 2, c, d), (3, 3, c, d). c+d=5となる組み合わせはない。

(7, 4)となる(a, b, c, d)は(3, 4, c, d), (4, 3, c, d). c+d=4となるのは、(1, 3)と(3, 1)

S = 11となる組み合わせは(a, b, c, d) = (1, 2, 3, 5), (2, 1, 3, 5), (1, 4, 1, 5), (1, 4, 5, 1), (4, 1, 1, 5), (4, 1, 5, 1), (3, 4, 1, 3), (3, 4, 3, 1), (4, 3, 1, 3), (4, 3, 3, 1)の10通りです。

S=11となる(a, b, c, d)はシス=10組です。

S <= 10となる(a, b, c, d)はセソ組です。

(2)

3. 最終的な答え

アイ = 12

ウ = 6

エ = 4

オ = 2

カ=3, キ=8, ク=5, ケ=6, コ=7, サ=4

シス = 10

セソ = 4 + 2 - 10

タ / チツ =

テ / トナ =

ニヌ / ネノ =