7本のくじの中に2本の当たりくじがある。5人が順番にくじを引き、引いたくじは戻さないとき、5人とも当たりくじを引かない確率を求め、約分した分数で答える。

1. 問題の内容

7本のくじの中に2本の当たりくじがある。5人が順番にくじを引き、引いたくじは戻さないとき、5人とも当たりくじを引かない確率を求め、約分した分数で答える。

2. 解き方の手順

まず、5人全員が当たりくじを引かない確率を計算する。

1人目が当たりくじを引かない確率は、$\frac{5}{7}$ である（7本のうち当たりでないくじが5本）。

2人目が当たりくじを引かない確率は、1人目が当たりくじを引かなかったという条件の下で、残りの6本のうち当たりでないくじが4本なので、$\frac{4}{6}$ である。

3人目が当たりくじを引かない確率は、1,2人目が当たりくじを引かなかったという条件の下で、残りの5本のうち当たりでないくじが3本なので、$\frac{3}{5}$ である。

4人目が当たりくじを引かない確率は、1,2,3人目が当たりくじを引かなかったという条件の下で、残りの4本のうち当たりでないくじが2本なので、$\frac{2}{4}$ である。

5人目が当たりくじを引かない確率は、1,2,3,4人目が当たりくじを引かなかったという条件の下で、残りの3本のうち当たりでないくじが1本なので、$\frac{1}{3}$ である。

したがって、5人全員が当たりくじを引かない確率は、これらの確率をすべて掛け合わせたものである。

$\frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3} = \frac{120}{2520}$

次に、この分数を約分する。

$\frac{120}{2520} = \frac{12}{252} = \frac{6}{126} = \frac{3}{63} = \frac{1}{21}$

3. 最終的な答え

1/21