(1) 不等式 $5(x-3) < -2(x-14)$ を満たす最大の整数 $x$ を求める。 (2) 不等式 $\frac{x}{2} + \frac{4}{3} \geq x - \frac{2}{3}$ を満たす自然数 $x$ の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $5(x-3) < -2(x-14)$ を満たす最大の整数 $x$ を求める。

(2) 不等式 $\frac{x}{2} + \frac{4}{3} \geq x - \frac{2}{3}$ を満たす自然数 $x$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $5(x-3) < -2(x-14)$ を解く。

まず、括弧を展開する。

$5x - 15 < -2x + 28$

次に、$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に移項する。

$5x + 2x < 28 + 15$

$7x < 43$

両辺を7で割る。

$x < \frac{43}{7}$

$x < 6.1428...$

不等式を満たす最大の整数 $x$ は 6 である。

(2) 不等式 $\frac{x}{2} + \frac{4}{3} \geq x - \frac{2}{3}$ を解く。

両辺に6を掛ける。

$6 \times (\frac{x}{2} + \frac{4}{3}) \geq 6 \times (x - \frac{2}{3})$

$3x + 8 \geq 6x - 4$

$x$ の項を右辺に、定数項を左辺に移項する。

$8 + 4 \geq 6x - 3x$

$12 \geq 3x$

両辺を3で割る。

$4 \geq x$

$x \leq 4$

不等式を満たす自然数 $x$ は 1, 2, 3, 4 である。したがって、個数は4個。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 4