20本のくじの中に当たりくじが4本あります。このくじをa, b, cの順に1本ずつ引きます。引いたくじは元に戻しません。 (1) aが当たり、cも当たる確率を求めなさい。 (2) aが外れ、cが当たる確率を求めなさい。

1. 問題の内容

20本のくじの中に当たりくじが4本あります。このくじをa, b, cの順に1本ずつ引きます。引いたくじは元に戻しません。

(1) aが当たり、cも当たる確率を求めなさい。

(2) aが外れ、cが当たる確率を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) aが当たり、cも当たる確率

aが当たる確率は $\frac{4}{20}$ です。

aが当たった後、残りのくじは19本で、当たりくじは3本です。bが当たるか外れるかに関わらず、cが当たる確率を考えます。

- bが当たるとき、確率は $\frac{3}{19}$ であり、このときcが当たる確率は $\frac{2}{18}$ です。

- bが外れるとき、確率は $\frac{16}{19}$ であり、このときcが当たる確率は $\frac{3}{18}$ です。

したがって、aが当たり、cが当たる確率は、

$\frac{4}{20} \times (\frac{3}{19} \times \frac{2}{18} + \frac{16}{19} \times \frac{3}{18})$

$= \frac{4}{20} \times \frac{6 + 48}{19 \times 18}$

$= \frac{4}{20} \times \frac{54}{19 \times 18}$

$= \frac{4}{20} \times \frac{3}{19}$

$= \frac{1}{5} \times \frac{3}{19}$

$= \frac{3}{95}$

(2) aが外れ、cが当たる確率

aが外れる確率は $\frac{16}{20}$ です。

aが外れた後、残りのくじは19本で、当たりくじは4本です。bが当たるか外れるかに関わらず、cが当たる確率を考えます。

- bが当たるとき、確率は $\frac{4}{19}$ であり、このときcが当たる確率は $\frac{3}{18}$ です。

- bが外れるとき、確率は $\frac{15}{19}$ であり、このときcが当たる確率は $\frac{4}{18}$ です。

したがって、aが外れ、cが当たる確率は、

$\frac{16}{20} \times (\frac{4}{19} \times \frac{3}{18} + \frac{15}{19} \times \frac{4}{18})$

$= \frac{16}{20} \times \frac{12 + 60}{19 \times 18}$

$= \frac{16}{20} \times \frac{72}{19 \times 18}$

$= \frac{16}{20} \times \frac{4}{19}$

$= \frac{4}{5} \times \frac{4}{19}$

$= \frac{16}{95}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{95}$

(2) $\frac{16}{95}$