問題は、対偶を考えて次の命題を証明せよというものです。 (1) $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$ (2) $x+y > 3 \implies$ 「$x > 2$ または $y > 1$」 (3) $n^2$ が 3 の倍数でない $\implies n$ は 3 の倍数でない (4) $n^3+1$ が奇数 $\implies n$ は偶数

1. 問題の内容

問題は、対偶を考えて次の命題を証明せよというものです。

(1) $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$

(2) $x+y > 3 \implies$ 「$x > 2$ または $y > 1$」

(3) $n^2$ が 3 の倍数でない $\implies n$ は 3 の倍数でない

(4) $n^3+1$ が奇数 $\implies n$ は偶数

2. 解き方の手順

(1)

命題 $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$ の対偶は、$x = 1 \implies x^3 = 1$ です。

$x = 1$ のとき、$x^3 = 1^3 = 1$ となるので、$x = 1 \implies x^3 = 1$ は真です。

したがって、元の命題 $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$ も真です。

(2)

命題 $x+y > 3 \implies$ 「$x > 2$ または $y > 1$」の対偶は、「$x \leq 2$ かつ $y \leq 1$」 $\implies x+y \leq 3$ です。

$x \leq 2$ かつ $y \leq 1$ のとき、$x+y \leq 2+1 = 3$ となるので、「$x \leq 2$ かつ $y \leq 1$」 $\implies x+y \leq 3$ は真です。

したがって、元の命題 $x+y > 3 \implies$ 「$x > 2$ または $y > 1$」も真です。

(3)

命題「$n^2$ が 3 の倍数でない $\implies n$ は 3 の倍数でない」の対偶は、「$n$ が 3 の倍数である $\implies n^2$ が 3 の倍数である」です。

$n$ が 3 の倍数であるとき、$n = 3k$（$k$ は整数）と書けます。

このとき、$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となり、$n^2$ は 3 の倍数になります。

したがって、「$n$ が 3 の倍数である $\implies n^2$ が 3 の倍数である」は真です。

よって、元の命題「$n^2$ が 3 の倍数でない $\implies n$ は 3 の倍数でない」も真です。

(4)

命題「$n^3+1$ が奇数 $\implies n$ は偶数」の対偶は、「$n$ が奇数 $\implies n^3+1$ が偶数」です。

$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$（$k$ は整数）と書けます。

このとき、$n^3+1 = (2k+1)^3 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)$ となり、$n^3+1$ は偶数になります。

したがって、「$n$ が奇数 $\implies n^3+1$ が偶数」は真です。

よって、元の命題「$n^3+1$ が奇数 $\implies n$ は偶数」も真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 真

(3) 真

(4) 真