全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられたとき、以下の集合を要素を並べて表す。 (1) 3の倍数の集合 $A$ (2) 12の約数の集合 $B$ (3) 補集合 $\overline{A}$ (4) 補集合 $\overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられたとき、以下の集合を要素を並べて表す。

(1) 3の倍数の集合 $A$

(2) 12の約数の集合 $B$

(3) 補集合 $\overline{A}$

(4) 補集合 $\overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数の集合 $A$ は、全体集合 $U$ の要素のうち、3で割り切れるものを集めたものである。したがって、$A = \{3, 6, 9\}$ となる。

(2) 12の約数の集合 $B$ は、12を割り切れる数を集めたものである。ただし、全体集合 $U$ の要素のみを考える。12の約数は1, 2, 3, 4, 6, 12であるが、$U$に含まれるのは1, 2, 3, 4, 6のみである。したがって、$B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ となる。

(3) 補集合 $\overline{A}$ は、全体集合 $U$ から集合 $A$ の要素を取り除いたものである。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ であり、$A = \{3, 6, 9\}$ であるから、$\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$ となる。

(4) 補集合 $\overline{B}$ は、全体集合 $U$ から集合 $B$ の要素を取り除いたものである。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ であり、$B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ であるから、$\overline{B} = \{5, 7, 8, 9, 10\}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $A = \{3, 6, 9\}$

(2) $B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$

(3) $\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

(4) $\overline{B} = \{5, 7, 8, 9, 10\}$