整数 $n$ に対して、命題P「$n$が6の倍数ならば、$n$は3の倍数である」の逆、裏、対偶を求め、それぞれの真偽を判定する問題です。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、命題P「$n$が6の倍数ならば、$n$は3の倍数である」の逆、裏、対偶を求め、それぞれの真偽を判定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 命題の逆、裏、対偶を求める。

* 命題P: $p \implies q$ ( $p$: $n$が6の倍数, $q$: $n$が3の倍数)

* 命題Pの逆: $q \implies p$ ($n$が3の倍数ならば、$n$は6の倍数である)

* 命題Pの裏: $\neg p \implies \neg q$ ($n$が6の倍数でないならば、$n$は3の倍数でない)

* 命題Pの対偶: $\neg q \implies \neg p$ ($n$が3の倍数でないならば、$n$は6の倍数でない)

よって、アは「$n$が3の倍数ならば、$n$は6の倍数である」(①), イは「$n$が6の倍数でないならば、$n$は3の倍数でない」(④), ウは「$n$が3の倍数でないならば、$n$は6の倍数でない」(③)

(2) それぞれの真偽を判定する。

* 命題P: $n$が6の倍数ならば、$n$は3の倍数である。これは真である。なぜなら、$n=6k$ (kは整数)と表せるとき、$n = 3(2k)$となり、$n$は3の倍数となるから。 (エは真)

* 命題Pの逆: $n$が3の倍数ならば、$n$は6の倍数である。これは偽である。反例として、$n=3$が挙げられる。3は3の倍数だが、6の倍数ではない。(オは偽)

* 命題Pの裏: $n$が6の倍数でないならば、$n$は3の倍数でない。これは偽である。反例として、$n=3$が挙げられる。3は6の倍数ではないが、3の倍数である。(カは偽)

* 命題Pの対偶: $n$が3の倍数でないならば、$n$は6の倍数でない。これは真である。命題Pが真なので、その対偶も真である。(キは真)

3. 最終的な答え

ア: ①

イ: ④

ウ: ③

エ: 真

オ: 偽

カ: 偽

キ: 真