問1の各小問に答え、問2の三角形の面積に関する問題を解きます。

1. 問題の内容

問1の各小問に答え、問2の三角形の面積に関する問題を解きます。

2. 解き方の手順

問1:

(1) $32 = \sqrt{1024} = \sqrt{2^{10}} = \sqrt{(-2)^{10}} = \sqrt{((-2)^5)^2} = (-2)^5 = 32$

$\sqrt{(-2)^{10}}$ は $(-2)^5$ ではなく $|(-2)^5|$ になるべきなので、⑤の等号が誤りです。

(2) $\sqrt{8-4\sqrt{3}} = \sqrt{8-2\sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$

(3) $6x^2 + (18a-6b)x - 18ab = 6x^2 + 18ax - 6bx - 18ab = 6x(x+3a) - 6b(x+3a) = (6x-6b)(x+3a) = 6(x-b)(x+3a)$

(4) 3人でジャンケンをするとき、1回目があいこになる確率は $3/9 = 1/3$ です。2回目で敗者が2人となるためには、残りの2人のうち1人が勝つ必要があります。2回目の確率は $2/3 * 2/3 = 4/9$ となります。よって、求める確率は $1/3 * (2/3) = 2/9$ です。

(5) $f(x) = x^3+x$において、$f(a+3) = (a+3)^3 + (a+3) = a^3 + 9a^2 + 27a + 27 + a + 3 = a^3 + 9a^2 + 28a + 30$

(6) 壁の高さを$h$とすると、$tan(15^\circ) = \frac{h-1.7}{15}$。

$tan(15^\circ) = \frac{sin(15^\circ)}{cos(15^\circ)} = \frac{0.26}{0.97} \approx 0.268$

$h - 1.7 = 15 * 0.268 = 4.02$

$h = 4.02 + 1.7 = 5.72$

(7) 赤い玉5個、白い玉4個の入った袋から3個の玉を同時に取り出すとき、3個とも同じ色が出るのは、3個とも赤い場合と3個とも白い場合です。

3個とも赤い確率は $\frac{5C3}{9C3} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$

3個とも白い確率は $\frac{4C3}{9C3} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}$

よって、求める確率は $\frac{5}{42} + \frac{1}{21} = \frac{5}{42} + \frac{2}{42} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6}$

問2:

(1) ヘロンの公式より、$s = \frac{5+7+8}{2} = 10$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} = \sqrt{10*5*3*2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$

(2) 内接円の半径を$r$とすると、$S = rs$より、$10\sqrt{3} = 10r$なので、$r = \sqrt{3}$

$\triangle AIB$の面積は $\frac{1}{2} * AB * r = \frac{1}{2} * 5 * \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

問1:

(1) ⑤

(2) $\sqrt{6}-\sqrt{2}$

(3) $6(x-b)(x+3a)$

(4) $\frac{2}{9}$

(5) $a^3 + 9a^2 + 28a + 30$

(6) 5.72 m

(7) $\frac{1}{6}$

問2:

(1) $10\sqrt{3}$

(2) $\frac{5\sqrt{3}}{2}$