与えられた複数の小問に答える問題です。内容は、係数、集合、無理数の有理化、グラフの平行移動、多角形の対角線の数、三角形の角の性質、命題の真偽、長方形の面積の最大値、度数分布表の作成、箱ひげ図の作成です。

1. 問題の内容

与えられた複数の小問に答える問題です。内容は、係数、集合、無理数の有理化、グラフの平行移動、多角形の対角線の数、三角形の角の性質、命題の真偽、長方形の面積の最大値、度数分布表の作成、箱ひげ図の作成です。

2. 解き方の手順

(1) $2a^2bc$ において $b$ に着目したときの係数は、$b$ 以外の部分である $2a^2c$ です。

(2) $A = \{x \mid x$ は $24$ の正の約数$\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$、

$B = \{3n \mid n=1, 2, 3, \dots, 10, n$ は整数$\} = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}$

$A \cap B = \{3, 6, 12, 24\}$なので、要素の数は4つです。

(3) $\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} = \frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4}{5 - 4} = \frac{9 + 4\sqrt{5}}{1} = 9 + 4\sqrt{5}$

(4) $y = x^2 - 4x + 6$ を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-5だけ平行移動すると、

$y + 5 = (x - 2)^2 - 4(x - 2) + 6$

$y + 5 = x^2 - 4x + 4 - 4x + 8 + 6$

$y = x^2 - 8x + 13$

(5) 正 $n$ 角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められます。

正12角形の場合、$\frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = 6 \times 9 = 54$ 本です。

(6) $a = 2\sqrt{5}, b = 2, c = 3$

$a^2 = 20, b^2 = 4, c^2 = 9$

$a^2 > b^2 + c^2$ なので、$\angle A$ は鈍角です。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4 + 9 - 20}{2 \times 2 \times 3} = \frac{-7}{12}$

$\cos A < 0$ なので、$\angle A > 90^\circ$

$\angle A$ はもっとも大きな角である。

(7) $x^2 = 3x$ のとき、$x = 3$ は偽である。

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$

$x = 0, 3$

反例として $x = 0$ があげられる。

(8) 長さ28mのロープで長方形の囲いを作る。長方形の縦の長さを $x$ とすると、横の長さは $14 - x$ となる。

面積 $S = x(14 - x) = -x^2 + 14x = -(x^2 - 14x) = -(x^2 - 14x + 49) + 49 = -(x-7)^2 + 49$

$x = 7$ のとき、面積は最大値 $49 m^2$ となる。

(1) 度数分布表の作成

- 25以上30未満: 25, 26, 26, 27, 29, 29 → 6人

- 30以上35未満: 31, 31, 31, 32, 34, 34, 35 → 7人

- 35以上40未満: 38, 39, 40 → 3人

- 40以上45未満: 42, 44, 44 → 3人

- 45以上50未満: 46, 47, 49, 49 → 4人

(2) 箱ひげ図は省略（データの並び替えが必要です）

3. 最終的な答え

(1) $2a^2c$

(2) 4

(3) $9 + 4\sqrt{5}$

(4) $y = x^2 - 8x + 13$

(5) 54

(6) 90度

(7) 0

(8) 49

(1) 度数分布表

- 25以上30未満: 6人

- 30以上35未満: 7人

- 35以上40未満: 3人

- 40以上45未満: 3人

- 45以上50未満: 4人

(2) 省略