(1) $2^{30}$ は何桁の数か求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。 (2) $(\frac{1}{5})^{20}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか求めよ。

1. 問題の内容

(1) $2^{30}$ は何桁の数か求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

(2) $(\frac{1}{5})^{20}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $2^{30}$ の桁数を求める。

$N = 2^{30}$ とおく。両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} N = \log_{10} 2^{30} = 30 \log_{10} 2 = 30 \times 0.3010 = 9.03$

ここで、$9 < \log_{10} N < 10$ であるから、$10^9 < N < 10^{10}$。したがって、$N = 2^{30}$ は10桁の数である。

(2) $(\frac{1}{5})^{20}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$M = (\frac{1}{5})^{20} = (5^{-1})^{20} = 5^{-20}$ とおく。両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} M = \log_{10} 5^{-20} = -20 \log_{10} 5 = -20 \log_{10} (\frac{10}{2}) = -20(\log_{10} 10 - \log_{10} 2)$

$= -20(1 - \log_{10} 2) = -20(1 - 0.3010) = -20(0.6990) = -13.98$

ここで、$\log_{10} M = -13.98 = -14 + 0.02$ である。したがって、

$-14 < \log_{10} M < -13$ より、 $10^{-14} < M < 10^{-13}$。つまり、$(\frac{1}{5})^{20}$ は小数第14位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

(1) 10桁

(2) 小数第14位