放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したところ, 放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ になった。このとき, 定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したところ, 放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ になった。このとき, 定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した放物線の方程式は,

$y + 2 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c$

である。これを展開して整理すると,

$y = a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c - 2$

$y = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c - 2$

$y = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c - 2)$

これが $y = -2x^2 + 3x - 1$ と一致するので,

$a = -2$

$-2a + b = 3$

$a - b + c - 2 = -1$

となる。

$a = -2$ を $-2a + b = 3$ に代入すると,

$-2(-2) + b = 3$

$4 + b = 3$

$b = -1$

$a = -2$ と $b = -1$ を $a - b + c - 2 = -1$ に代入すると,

$-2 - (-1) + c - 2 = -1$

$-2 + 1 + c - 2 = -1$

$c - 3 = -1$

$c = 2$

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = -1$, $c = 2$