1組のトランプからハートの札（2, 3, 4, 5, 6, 7）の6枚とスペードの札（3, 4, 5, 6, 7, 8）の6枚を取り出す。それぞれの札の山から3枚ずつ無作為に抜き出し、ハートの札に書かれた数字とスペードの札に書かれた数字が一致するごとに1点もらえるものとし、得点の合計をX点とする。 (1) 札の抜き出し方の総数を求める。 (2) X = 3 となる確率を求める。 (3) ハートの札の山から抜き出した3枚に2が含まれてX = 0となる確率と、2が含まれないでX=0となる確率を求める。また、X=0という条件下で、取り出した3枚に2のカードが含まれる条件付き確率を求める。 (4) X = 2 となる確率を求める。

1. 問題の内容

1組のトランプからハートの札（2, 3, 4, 5, 6, 7）の6枚とスペードの札（3, 4, 5, 6, 7, 8）の6枚を取り出す。それぞれの札の山から3枚ずつ無作為に抜き出し、ハートの札に書かれた数字とスペードの札に書かれた数字が一致するごとに1点もらえるものとし、得点の合計をX点とする。

(1) 札の抜き出し方の総数を求める。

(2) X = 3 となる確率を求める。

(3) ハートの札の山から抜き出した3枚に2が含まれてX = 0となる確率と、2が含まれないでX=0となる確率を求める。また、X=0という条件下で、取り出した3枚に2のカードが含まれる条件付き確率を求める。

(4) X = 2 となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) ハートの札の選び方は $_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

スペードの札の選び方も $_6C_3 = 20$ 通り。

よって、札の抜き出し方の総数は $20 \times 20 = 400$ 通り。

(2) X = 3 となるのは、ハートとスペードの札の数字が3つとも一致するとき。

ハートの札の選び方は $_6C_3 = 20$ 通り。

そのうち、スペードの札の数字と完全に一致するのは1通りしかない。

したがって、確率は $\frac{1}{400}$。

(3) ハートの札に2が含まれてX=0となる確率を求める。

ハートの札で2を含む選び方は、残りの2枚を3, 4, 5, 6, 7から選ぶので $_5C_2 = 10$ 通り。

X=0なので、スペードの札にはハートの札と同じ数字がない必要がある。

つまり、スペードの札は2,3,4,5,6,7から3枚選ぶ際に、ハートの札の数字と一致するものが含まれてはいけない。

ハートの札が {2,a,b} であるとき、スペードの札は {3,4,5,6,7,8} から a,b を除いたものから3枚を選ぶ必要がある。

しかし、実際に数え上げるのは難しい。

ハートの札に2が含まれないでX=0となる確率を求める。

ハートの札で2が含まれない選び方は $_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

X=0なので、スペードの札にはハートの札と同じ数字がない必要がある。

X=0となる確率を考える。ハートとスペードで一致する数字がないように選ぶ。

ハートを{2,3,4}としたとき、スペードを{6,7,8}など一致しないものを選ぶ必要がある。

X=0となる場合において、ハートに2が含まれる確率を求めれば良い。

X=0となるのは、ハートの3枚とスペードの3枚に同じ数字がないとき。

（3,4,5,6,7,8）の数字を重複なしに6個並べる方法を考えると難しくなる。

(4) X=2となる確率を求める。

X=3となるのは1通りなので確率 1/400

X=0,X=1,X=2をそれぞれ考える。

3. 最終的な答え

(1) アイウ: 400

(2) エ/オカ: 1/400

(3) キ/クケ: (計算中) コ/サシ: (計算中) ス/セ: (計算中)

(4) ソタ/チツ: (計算中)