2つの変量 $x$ と $y$ のデータが与えられています。$x$ と $y$ の最頻値をそれぞれ仮平均として、相関係数 $r_{xy}$ を求める問題です。 データは以下の通りです。 | $x$ | 148 | 149 | 142 | 155 | 145 | 149 | |---|---|---|---|---|---|---| | $y$ | 60 | 51 | 47 | 60 | 50 | 56 |

1. 問題の内容

2つの変量 $x$ と $y$ のデータが与えられています。$x$ と $y$ の最頻値をそれぞれ仮平均として、相関係数 $r_{xy}$ を求める問題です。

データは以下の通りです。

| $x$ | 148 | 149 | 142 | 155 | 145 | 149 |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $y$ | 60 | 51 | 47 | 60 | 50 | 56 |

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の最頻値を求めます。

$x$ のデータにおいて、149が2回出現するので、$x$ の最頻値は 149 です。

$y$ のデータにおいて、60が2回出現するので、$y$ の最頻値は 60 です。

次に、$x$ と $y$ の各データからそれぞれの最頻値を引いて、偏差を計算します。

$x$ の偏差:

$x_i - 149$: -1, 0, -7, 6, -4, 0

$y$ の偏差:

$y_i - 60$: 0, -9, -13, 0, -10, -4

次に、相関係数 $r_{xy}$ を求めるために、以下の公式を利用します。

$r_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$

ここで、$\bar{x}$ と $\bar{y}$ はそれぞれ $x$ と $y$ の平均値ですが、今回は最頻値を仮平均として利用しているので、最頻値を引いた偏差を利用します。したがって、

$r_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - 149)(y_i - 60)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - 149)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - 60)^2}}$

それぞれの合計を計算します。

$\sum_{i=1}^{6} (x_i - 149)(y_i - 60) = (-1)(0) + (0)(-9) + (-7)(-13) + (6)(0) + (-4)(-10) + (0)(-4) = 0 + 0 + 91 + 0 + 40 + 0 = 131$

$\sum_{i=1}^{6} (x_i - 149)^2 = (-1)^2 + (0)^2 + (-7)^2 + (6)^2 + (-4)^2 + (0)^2 = 1 + 0 + 49 + 36 + 16 + 0 = 102$

$\sum_{i=1}^{6} (y_i - 60)^2 = (0)^2 + (-9)^2 + (-13)^2 + (0)^2 + (-10)^2 + (-4)^2 = 0 + 81 + 169 + 0 + 100 + 16 = 366$

したがって、

$r_{xy} = \frac{131}{\sqrt{102}\sqrt{366}} = \frac{131}{\sqrt{37332}} = \frac{131}{193.215} \approx 0.678$

3. 最終的な答え

相関係数 $r_{xy}$ は約 0.678 です。