問題は、確率変数 $X$ と、それから独立に生成される確率変数 $X_1, X_2, \dots, X_n$ を用いて、標本平均 $Y = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ を定義したとき、以下の空欄に適切な選択肢を選ぶ問題です。 (1) Y は確率変数であるか、確率変数ではないか (2) Y の期待値 $E[Y]$ を表す数式を選択する

1. 問題の内容

問題は、確率変数 $X$ と、それから独立に生成される確率変数 $X_1, X_2, \dots, X_n$ を用いて、標本平均 $Y = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ を定義したとき、以下の空欄に適切な選択肢を選ぶ問題です。

(1) Y は確率変数であるか、確率変数ではないか

(2) Y の期待値 $E[Y]$ を表す数式を選択する

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $Y = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ は、確率変数の和を定数で割ったものなので、確率変数です。

(2) $Y$ の期待値 $E[Y]$ を計算します。期待値の線形性より、

$E[Y] = E\left[\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}\right] = \frac{1}{n} E[X_1 + X_2 + \dots + X_n]$

さらに、各 $X_i$ は $X$ と同じ分布に従うので、$E[X_i] = E[X]$ が成り立ちます。したがって、

$E[Y] = \frac{1}{n} (E[X_1] + E[X_2] + \dots + E[X_n]) = \frac{1}{n} (E[X] + E[X] + \dots + E[X]) = \frac{1}{n} (nE[X]) = E[X]$

3. 最終的な答え

(1) b. 確率変数である。

(2) b. $E[X]$