赤い玉1個（1000円）、緑の玉2個（300円）、青い玉3個（100円）、白い玉4個（0円）が入った福引がある。玉が出る確率はすべて等しいとする。この福引を引いたときに貰えるお金を確率変数Xとする。Xの分散V[X]を求めよ。また、福引を引くのに100円かかる場合（賞金-参加費をYとする）、Yの期待値、分散はXの期待値、分散と比べてどうなるか答えよ。

1. 問題の内容

赤い玉1個（1000円）、緑の玉2個（300円）、青い玉3個（100円）、白い玉4個（0円）が入った福引がある。玉が出る確率はすべて等しいとする。この福引を引いたときに貰えるお金を確率変数Xとする。Xの分散V[X]を求めよ。また、福引を引くのに100円かかる場合（賞金-参加費をYとする）、Yの期待値、分散はXの期待値、分散と比べてどうなるか答えよ。

2. 解き方の手順

問1: Xの分散V[X]を求める

まず、Xの期待値E[X]を計算します。

福引の玉の総数は $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ 個です。

それぞれの玉が出る確率は $\frac{1}{10}$、$\frac{2}{10}$、$\frac{3}{10}$、$\frac{4}{10}$ となります。

よって、

$E[X] = 1000 \cdot \frac{1}{10} + 300 \cdot \frac{2}{10} + 100 \cdot \frac{3}{10} + 0 \cdot \frac{4}{10} = 100 + 60 + 30 + 0 = 190$

次に、$E[X^2]$を計算します。

$E[X^2] = 1000^2 \cdot \frac{1}{10} + 300^2 \cdot \frac{2}{10} + 100^2 \cdot \frac{3}{10} + 0^2 \cdot \frac{4}{10} = 100000 + 18000 + 3000 + 0 = 121000$

分散V[X]は、

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 121000 - (190)^2 = 121000 - 36100 = 84900$

問2: Yの期待値、分散とXの期待値、分散の関係を求める

YはXから100円引いたものなので、$Y = X - 100$ です。

期待値について、$E[Y] = E[X - 100] = E[X] - 100$ となります。

つまり、Yの期待値はXの期待値より100小さくなります。

分散について、$V[Y] = V[X - 100] = V[X]$ となります。

定数を引いても分散は変化しません。

3. 最終的な答え

問1: Xの分散V[X]は **84900**

問2: Yの期待値はXの期待値より小さく、Yの分散はXの分散と等しい。