表が出る確率が1/3、裏が出る確率が2/3であるコインを10枚投げます。表が出れば1点、裏が出れば-1点を得ます。10枚のコインを同時に投げて得られる点数の和を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の期待値 $E[X]$ を求めます。

## 問題2

1. 問題の内容

表が出る確率が1/3、裏が出る確率が2/3であるコインを10枚投げます。表が出れば1点、裏が出れば-1点を得ます。10枚のコインを同時に投げて得られる点数の和を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の期待値 $E[X]$ を求めます。

2. 解き方の手順

各コインの期待値を求め、それらを合計することで $X$ の期待値を求めます。

1枚のコインを投げたときの得点を確率変数 $Y$ とします。$Y$ は以下の値を取ります。

- 表が出た場合: $Y = 1$ (確率 $1/3$)

- 裏が出た場合: $Y = -1$ (確率 $2/3$)

$Y$ の期待値 $E[Y]$ は

$E[Y] = 1 \cdot \frac{1}{3} + (-1) \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

$X$ は10枚のコインの得点の和なので、$X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{10}$ と表せます。ここで、$Y_i$ は $i$ 番目のコインの得点です。

期待値の線形性より、

$E[X] = E[Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{10}] = E[Y_1] + E[Y_2] + \cdots + E[Y_{10}]$

各コインの期待値はすべて等しく $E[Y] = -\frac{1}{3}$ なので、

$E[X] = 10 \cdot E[Y] = 10 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{10}{3}$

## 問題3

1. 問題の内容

ある駅の売店で新聞を売っています。1日の販売部数 $X$ は確率変数で、期待値が100部、分散が100です。1部当たりの利益が20円、固定的にかかる費用が1日当たり500円のとき、1日あたりの利益額の分散を求めます。

2. 解き方の手順

1日の利益額を確率変数で表し、その分散を求めます。

1日の販売部数を $X$ とし、$X$ の期待値を $E[X] = 100$、分散を $V[X] = 100$ とします。

1部当たりの利益は20円なので、1日の売上による利益は $20X$ 円です。

固定費用が500円なので、1日の利益額 $Y$ は $Y = 20X - 500$ と表せます。

分散の性質より、

$V[aX + b] = a^2 V[X]$ (ここで $a$ と $b$ は定数)

したがって、

$V[Y] = V[20X - 500] = 20^2 \cdot V[X] = 400 \cdot 100 = 40000$

3. 最終的な答え

40000