ある家庭の玄関に取り付けられる電球の寿命（単位：日）は正規分布 $N(180, 10^2)$ に従う。正月に新しい電球に取り替えたとき、年内に2回以上取り替えなければならない確率を求める。ここで、1つ目の電球の寿命を $X$、2つ目の電球の寿命を $Y$ とし、$X$ と $Y$ は独立とする。また、一年は365日であるとする。

1. 問題の内容

ある家庭の玄関に取り付けられる電球の寿命（単位：日）は正規分布 $N(180, 10^2)$ に従う。正月に新しい電球に取り替えたとき、年内に2回以上取り替えなければならない確率を求める。ここで、1つ目の電球の寿命を $X$、2つ目の電球の寿命を $Y$ とし、$X$ と $Y$ は独立とする。また、一年は365日であるとする。

2. 解き方の手順

$X$ と $Y$ は独立な正規分布に従う確率変数であり、$X \sim N(180, 10^2)$ および $Y \sim N(180, 10^2)$ である。

最初に交換した電球の寿命が $X$ 日であるとき、次に交換する電球の寿命は $Y$ 日である。年内に2回以上取り替えるということは、$X + Y < 365$ となることを意味する。

$X + Y$ の分布を考える。$X$ と $Y$ が独立な正規分布に従うとき、$X + Y$ も正規分布に従い、その平均と分散はそれぞれの和になる。

平均: $E[X + Y] = E[X] + E[Y] = 180 + 180 = 360$

分散: $Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y] = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$

したがって、$X + Y \sim N(360, 200)$ である。

標準偏差は $\sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$ である。

$Z = \frac{X + Y - 360}{\sqrt{200}}$ とすると、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

求める確率は $P(X + Y < 365)$ である。

$P(X + Y < 365) = P(\frac{X + Y - 360}{\sqrt{200}} < \frac{365 - 360}{\sqrt{200}}) = P(Z < \frac{5}{\sqrt{200}})$

$P(Z < \frac{5}{10\sqrt{2}}) = P(Z < \frac{1}{2\sqrt{2}}) = P(Z < \frac{\sqrt{2}}{4}) \approx P(Z < \frac{1.414}{4}) \approx P(Z < 0.3535)$

標準正規分布表より、$P(Z < 0.35) \approx 0.6368$

$P(Z < 0.36) \approx 0.6406$

線形補間を用いて、$P(Z < 0.3535) \approx 0.6368 + (0.6406 - 0.6368) \times 0.35 \approx 0.6368 + 0.0038 \times 0.35 \approx 0.6368 + 0.00133 \approx 0.63813$

小数第3位で四捨五入すると、0.64となる。

3. 最終的な答え

0. 64