確率変数 $X$ の期待値を $E[X]$、分散を $V[X]$ とする。$X_1, X_2, ..., X_n$ をそれぞれ独立に $X$ と同じ分布に従う確率変数とする。 標本平均 $Y = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ について、以下の設問に答えよ。 (1) $Y$ は（１） (2) $E[Y] = E[\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}] = $ （２） (3) $V[Y] = V[\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}] = $ （３） (4) $n$ が大きくなるにつれて、（４）

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値を $E[X]$、分散を $V[X]$ とする。$X_1, X_2, ..., X_n$ をそれぞれ独立に $X$ と同じ分布に従う確率変数とする。

標本平均 $Y = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ について、以下の設問に答えよ。

(1) $Y$ は（１）

(2) $E[Y] = E[\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}] =$ （２）

(3) $V[Y] = V[\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}] =$ （３）

(4) $n$ が大きくなるにつれて、（４）

2. 解き方の手順

(1) $Y$ は確率変数 $X_1, X_2, ..., X_n$ の標本平均であるから、$Y$ も確率変数である。

(2) 期待値の線形性より、

$E[Y] = E[\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}] = \frac{1}{n} (E[X_1] + E[X_2] + ... + E[X_n])$

$X_i$ は全て $X$ と同じ分布に従うので、$E[X_i] = E[X]$。

したがって、

$E[Y] = \frac{1}{n} (n E[X]) = E[X]$

(3) 分散の性質と独立性より、

$V[Y] = V[\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}] = \frac{1}{n^2} (V[X_1] + V[X_2] + ... + V[X_n])$

$X_i$ は全て $X$ と同じ分布に従うので、$V[X_i] = V[X]$。

したがって、

$V[Y] = \frac{1}{n^2} (n V[X]) = \frac{V[X]}{n}$

(4) $n$ が大きくなるにつれて、$V[Y] = \frac{V[X]}{n}$ は 0 に近づく。これは、$Y$ がある値に集中することを意味する。$E[Y] = E[X]$ であるから、$Y$ は $E[X]$ に確率収束する。

3. 最終的な答え

(1) 確率変数

(2) $E[X]$

(3) $\frac{V[X]}{n}$

(4) $Y$ は $E[X]$ に確率収束する