$x_i - 160$ の平均値が15.7、分散が6.25ということである。 つまり、 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-160) = 15.7$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((x_i-160)-15.7)^2 = 6.25$ である。

## 問題の内容

あるクラスの身長のデータについて、生徒全員の身長から160を引いたデータの平均値が15.7、分散が6.25である。このとき、生徒全員の身長を100で割ったデータの平均値、分散、標準偏差を求めよ。

## 解き方の手順

1. 生徒の身長を $x_i$ とすると、与えられた条件は、

$x_i - 160$ の平均値が15.7、分散が6.25ということである。

つまり、

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-160) = 15.7$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((x_i-160)-15.7)^2 = 6.25$

である。

2. 平均値について、$\frac{x_i}{100}$ の平均値を求める。

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-160) = 15.7$ より

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}160 = 15.7$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i - 160 = 15.7$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = 175.7$

よって、

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{100} = \frac{1}{100} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{175.7}{100} = 1.757$

$\frac{x_i}{100}$ の平均値は $1.757$ である。

3. 分散について、$\frac{x_i}{100}$ の分散を求める。

$x_i-160$ の平均値が15.7、分散が6.25であるので、

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((x_i-160)-15.7)^2 = 6.25$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-175.7)^2 = 6.25$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i}{100}-\frac{175.7}{100})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i}{100}-1.757)^2$を求めたい。

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-175.7)^2 = 6.25$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(100\frac{x_i}{100}-175.7)^2 = 6.25$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}100^2(\frac{x_i}{100}-1.757)^2 = 6.25$

$100^2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i}{100}-1.757)^2 = 6.25$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i}{100}-1.757)^2 = \frac{6.25}{100^2} = \frac{6.25}{10000} = 0.000625$

$\frac{x_i}{100}$ の分散は $0.000625$ である。

4. 標準偏差について、分散の平方根を取る。

標準偏差 = $\sqrt{分散} = \sqrt{0.000625} = 0.025$

## 最終的な答え

平均値: 1.757

分散: 0.000625

標準偏差: 0.025