赤玉4個、白玉5個が入った袋から無作為に3個の玉を取り出す。以下の確率を求めよ。 (1) 少なくとも1個は赤玉である確率 (2) 少なくとも1個は白玉である確率 (3) この試行を2回繰り返したとき、白玉が1個も出ない確率。ただし、試行ごとに取り出した玉は袋に戻す。

1. 問題の内容

赤玉4個、白玉5個が入った袋から無作為に3個の玉を取り出す。以下の確率を求めよ。

(1) 少なくとも1個は赤玉である確率

(2) 少なくとも1個は白玉である確率

(3) この試行を2回繰り返したとき、白玉が1個も出ない確率。ただし、試行ごとに取り出した玉は袋に戻す。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも1個は赤玉である確率

これは、3個とも白玉である確率を全体から引くことで求められる。

全体の取り出し方は $_9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り。

3個とも白玉である取り出し方は $_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ 通り。

したがって、少なくとも1個は赤玉である確率は、

$1 - \frac{10}{84} = 1 - \frac{5}{42} = \frac{37}{42}$

(2) 少なくとも1個は白玉である確率

これは、3個とも赤玉である確率を全体から引くことで求められる。

全体の取り出し方は $_9C_3 = 84$ 通り。

3個とも赤玉である取り出し方は $_4C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通り。

したがって、少なくとも1個は白玉である確率は、

$1 - \frac{4}{84} = 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$

(3) この試行を2回繰り返したとき、白玉が1個も出ない確率

1回の試行で白玉が1個も出ない、つまり3個とも赤玉である確率は$\frac{4}{84} = \frac{1}{21}$

この試行を2回繰り返して、毎回白玉が1個も出ない確率は、

$(\frac{1}{21})^2 = \frac{1}{441}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{37}{42}$

(2) $\frac{20}{21}$

(3) $\frac{1}{441}$