2次関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ があり、そのグラフは点 $(1, 1)$ と $(3, 7)$ を通る。 (1) 定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $-1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) $t$ を正の定数とする。$-t \le x \le 2t$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M + m = \frac{21}{2}$ となるような $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ があり、そのグラフは点 $(1, 1)$ と $(3, 7)$ を通る。

(1) 定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $-1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) $t$ を正の定数とする。$-t \le x \le 2t$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M + m = \frac{21}{2}$ となるような $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $(1, 1)$ と $(3, 7)$ を通るので、以下の2式が成り立つ。

$f(1) = 1^2 + a(1) + b = 1$

$f(3) = 3^2 + a(3) + b = 7$

これらを整理すると、

$1 + a + b = 1$

$9 + 3a + b = 7$

すなわち、

$a + b = 0$

$3a + b = -2$

この連立方程式を解く。下の式から上の式を引くと、

$2a = -2$

$a = -1$

$b = -a = 1$

よって、$a = -1$、$b = 1$。

(2) (1)より、$f(x) = x^2 - x + 1$。平方完成すると、

$f(x) = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

軸は $x = \frac{1}{2}$ で、下に凸の放物線である。

$-1 \le x \le 2$ の範囲で考える。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$

よって、最大値は $3$ ($x = -1, 2$ のとき)、最小値は $\frac{3}{4}$ ($x = \frac{1}{2}$ のとき)。

(3) $-t \le x \le 2t$ における $f(x) = x^2 - x + 1$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を考える。軸は $x = \frac{1}{2}$。

場合分けをする。

(i) $-t \le \frac{1}{2} \le 2t$ のとき、つまり $\frac{1}{4} \le t$ のとき、最小値 $m = f(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$。

最大値を求める。$x = -t$ と $x = 2t$ のどちらが軸から遠いかを比較する。

$|-t - \frac{1}{2}|$ と $|2t - \frac{1}{2}|$ を比較する。

$2t - \frac{1}{2} - (-t - \frac{1}{2}) = 3t > 0$ なので、$2t$ の方が軸から遠い。

よって、$M = f(2t) = (2t)^2 - 2t + 1 = 4t^2 - 2t + 1$。

$M + m = 4t^2 - 2t + 1 + \frac{3}{4} = \frac{21}{2}$

$4t^2 - 2t + \frac{7}{4} = \frac{42}{4}$

$4t^2 - 2t - \frac{35}{4} = 0$

$16t^2 - 8t - 35 = 0$

$(4t - 7)(4t + 5) = 0$

$t = \frac{7}{4}, -\frac{5}{4}$

$t > 0$ より、$t = \frac{7}{4}$。これは $\frac{1}{4} \le t$ を満たす。

(ii) $2t < \frac{1}{2}$ のとき、つまり $0 < t < \frac{1}{4}$ のとき、区間 $-t \le x \le 2t$ で $f(x)$ は単調減少である。

$M = f(-t) = (-t)^2 - (-t) + 1 = t^2 + t + 1$

$m = f(2t) = (2t)^2 - (2t) + 1 = 4t^2 - 2t + 1$

$M + m = t^2 + t + 1 + 4t^2 - 2t + 1 = 5t^2 - t + 2 = \frac{21}{2}$

$5t^2 - t + 2 - \frac{21}{2} = 0$

$10t^2 - 2t + 4 - 21 = 0$

$10t^2 - 2t - 17 = 0$

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4(10)(17)}}{20} = \frac{2 \pm \sqrt{684}}{20} = \frac{2 \pm 2\sqrt{171}}{20} = \frac{1 \pm \sqrt{171}}{10}$

$t > 0$ より、$t = \frac{1 + \sqrt{171}}{10} \approx \frac{1 + 13.08}{10} \approx 1.4$

これは $0 < t < \frac{1}{4}$ を満たさない。

したがって、$t = \frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$, $b = 1$

(2) 最大値 $3$ ($x = -1, 2$ のとき), 最小値 $\frac{3}{4}$ ($x = \frac{1}{2}$ のとき)

(3) $t = \frac{7}{4}$