実数 $x$ に関する2つの条件 $p: |x-2| \le 2$ と $q: ax + b > 0$ が与えられている。 (1) 不等式 $|x-2| \le 2$ の解を求める。 (2) $a$と$b$の値が与えられたとき、$p$が$q$であるための条件、$\bar{p}$が$\bar{q}$であるための条件、$p$が$q$であるための条件をそれぞれ選択肢の中から選ぶ。

1. 問題の内容

実数 $x$ に関する2つの条件 $p: |x-2| \le 2$ と $q: ax + b > 0$ が与えられている。

(1) 不等式 $|x-2| \le 2$ の解を求める。

(2) $a$と$b$の値が与えられたとき、$p$が$q$であるための条件、$\bar{p}$が$\bar{q}$であるための条件、$p$が$q$であるための条件をそれぞれ選択肢の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|x-2| \le 2$ を解く。

$-2 \le x-2 \le 2$

各辺に2を加えると

$0 \le x \le 4$

(2) (i) $a=1, b=2$のとき、$q$は $x+2 > 0$ つまり $x > -2$となる。

$p: 0 \le x \le 4$、$q: x > -2$である。

$p$ ならば $q$ は真なので、$p$は$q$であるための十分条件である。

$q$ ならば $p$ は偽なので、$p$は$q$であるための必要条件ではない。

したがって、$p$は$q$であるための十分条件であるが、必要条件ではない。選択肢は①。

$\bar{p}$は$x < 0$または$x > 4$、$\bar{q}$は$x \le -2$である。

$\bar{p}$ならば$\bar{q}$は偽なので、$\bar{p}$は$\bar{q}$であるための十分条件ではない。

$\bar{q}$ならば$\bar{p}$は真なので、$\bar{p}$は$\bar{q}$であるための必要条件である。

したがって、$\bar{p}$は$\bar{q}$であるための必要条件であるが、十分条件ではない。選択肢は⓪。

(ii) $a=0, b=1$のとき、$q$は $0x+1>0$ つまり $1 > 0$となる。

$q$は常に真である。$p: 0 \le x \le 4$である。

$p$ならば$q$は真なので、$p$は$q$であるための十分条件である。

$q$ならば$p$は偽なので、$p$は$q$であるための必要条件ではない。

したがって、$p$は$q$であるための十分条件であるが、必要条件ではない。選択肢は①。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x \le 4$

(2) サ：①

シ：⓪

ス：①