写真に写っている数学の問題は、絶対値記号を含む方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の方程式と不等式を解く必要があります。 1. $|x| + 2|x-2| = x+2$

1. 問題の内容

写真に写っている数学の問題は、絶対値記号を含む方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の方程式と不等式を解く必要があります。

1. $|x| + 2|x-2| = x+2$

2. $|x| + |x-1| = x+4$

3. (1) $|x-1| = 2x$

(2) $|2x-4| \le x$

(3) $|x+1| + |x-3| = 6$

(4) $|2x+1| \le |2x-1| + x$

2. 解き方の手順

**

1. $|x| + 2|x-2| = x+2$**

場合分けをして絶対値を外します。

(i) $x < 0$のとき

$-x + 2(2-x) = x+2$

$-x + 4 - 2x = x+2$

$-3x + 4 = x+2$

$4x = 2$

$x = \frac{1}{2}$

これは$x < 0$を満たさないので不適。

(ii) $0 \le x < 2$のとき

$x + 2(2-x) = x+2$

$x + 4 - 2x = x+2$

$-x + 4 = x+2$

$2x = 2$

$x = 1$

これは$0 \le x < 2$を満たすので適する。

(iii) $x \ge 2$のとき

$x + 2(x-2) = x+2$

$x + 2x - 4 = x+2$

$3x - 4 = x+2$

$2x = 6$

$x = 3$

これは$x \ge 2$を満たすので適する。

**

2. $|x| + |x-1| = x+4$**

場合分けをして絶対値を外します。

(i) $x < 0$のとき

$-x - (x-1) = x+4$

$-x - x + 1 = x+4$

$-2x + 1 = x+4$

$-3x = 3$

$x = -1$

これは$x < 0$を満たすので適する。

(ii) $0 \le x < 1$のとき

$x - (x-1) = x+4$

$x - x + 1 = x+4$

$1 = x+4$

$x = -3$

これは$0 \le x < 1$を満たさないので不適。

(iii) $x \ge 1$のとき

$x + (x-1) = x+4$

$2x - 1 = x+4$

$x = 5$

これは$x \ge 1$を満たすので適する。

**

3. (1) $|x-1| = 2x$**

場合分けをして絶対値を外します。

(i) $x < 1$のとき

$-(x-1) = 2x$

$-x + 1 = 2x$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

これは$x < 1$を満たすので適する。ただし、$2x \ge 0$が必要なので問題ない。

(ii) $x \ge 1$のとき

$x-1 = 2x$

$x = -1$

これは$x \ge 1$を満たさないので不適。

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3. (2) $|2x-4| \le x$**

場合分けをして絶対値を外します。

(i) $x < 2$のとき

$-(2x-4) \le x$

$-2x + 4 \le x$

$3x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{3}$

したがって、$\frac{4}{3} \le x < 2$

(ii) $x \ge 2$のとき

$2x - 4 \le x$

$x \le 4$

したがって、$2 \le x \le 4$

以上より、$\frac{4}{3} \le x \le 4$

ただし、$x \ge 0$が必要なので問題ない。

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3. (3) $|x+1| + |x-3| = 6$**

場合分けをして絶対値を外します。

(i) $x < -1$のとき

$-(x+1) - (x-3) = 6$

$-x - 1 - x + 3 = 6$

$-2x + 2 = 6$

$-2x = 4$

$x = -2$

これは$x < -1$を満たすので適する。

(ii) $-1 \le x < 3$のとき

$(x+1) - (x-3) = 6$

$x + 1 - x + 3 = 6$

$4 = 6$

これは成り立たないので解なし。

(iii) $x \ge 3$のとき

$(x+1) + (x-3) = 6$

$2x - 2 = 6$

$2x = 8$

$x = 4$

これは$x \ge 3$を満たすので適する。

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3. (4) $|2x+1| \le |2x-1| + x$**

場合分けをして絶対値を外します。

(i) $x < -\frac{1}{2}$のとき

$-(2x+1) \le -(2x-1) + x$

$-2x - 1 \le -2x + 1 + x$

$-2x - 1 \le -2x + 1 + x$

$-1 \le 1 + x$

$x \ge -2$

したがって、$-2 \le x < -\frac{1}{2}$

(ii) $-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{2}$のとき

$2x+1 \le -(2x-1) + x$

$2x+1 \le -2x + 1 + x$

$2x+1 \le -x + 1$

$3x \le 0$

$x \le 0$

したがって、$-\frac{1}{2} \le x \le 0$

(iii) $x \ge \frac{1}{2}$のとき

$2x+1 \le (2x-1) + x$

$2x+1 \le 2x - 1 + x$

$2x+1 \le 3x - 1$

$x \ge 2$

したがって、$x \ge 2$

以上より、$-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$

3. 最終的な答え

1. $x = 1, 3$

2. $x = -1, 5$

3. (1) $x = \frac{1}{3}$

(2) $\frac{4}{3} \le x \le 4$

(3) $x = -2, 4$

(4) $-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$