画像に写っている2つの問題をそれぞれ解きます。 問題1：$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2)$ 問題2：$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$

1. 問題の内容

画像に写っている2つの問題をそれぞれ解きます。

問題1：$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2)$

問題2：$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$

2. 解き方の手順

問題1：$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2)$

まず、シグマを分配します。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

等比数列の和の公式$\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}$を用いると、$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \sum_{k=1}^{n-1} 2 \cdot 2^{k-1} = 2 \cdot \frac{1-2^{n-1}}{1-2} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6}$

したがって、$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2) = 2^n - 2 - \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} = 2^n - 2 - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

問題2：$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$

まず、シグマを分配します。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n^2(n^2 + 2n + 1)}{4} = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2 + n}{2}$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4} - \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2 - 2(n^2 + n)}{4} = \frac{n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n}{4} = \frac{n(n+1)(n^2 + n - 2)}{4} = \frac{n(n+1)(n+2)(n-1)}{4} = \frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}$

3. 最終的な答え

問題1：$2^n - 2 - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

問題2：$\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}$