$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

シグマの性質を利用して、それぞれの項を計算します。

まず、シグマを分配します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k) = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 7 \sum_{k=1}^{n} k$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

上記の式を元の式に代入します。

$3 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 7 \sum_{k=1}^{n} k = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

式を整理します。

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{7n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 7n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1-7)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n-6)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(n-3)}{2}$

$= n(n+1)(n-3)$

$= n(n^2 - 2n - 3)$

$= n^3 - 2n^2 - 3n$

3. 最終的な答え

$n^3 - 2n^2 - 3n$