1個のサイコロを2回投げたとき、出た目の最大値を $X$ とします。 (1) $X$ の確率分布を求めます。 (2) $P(3 \le X \le 5)$ を求めます。

1. 問題の内容

1個のサイコロを2回投げたとき、出た目の最大値を $X$ とします。

(1) $X$ の確率分布を求めます。

(2) $P(3 \le X \le 5)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $X$ の取りうる値は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ です。それぞれの確率を計算します。

$X = k$ となるのは、2回のうち少なくとも1回は $k$ が出て、かつどちらの目も $k$ より大きい値が出ない場合です。

$X \le k$ となる確率は、2回とも $k$ 以下の目が出る確率なので、$(\frac{k}{6})^2$ です。

したがって、$X = k$ となる確率は、 $X \le k$ となる確率から $X \le k-1$ となる確率を引いたものになります。

$P(X=k) = (\frac{k}{6})^2 - (\frac{k-1}{6})^2 = \frac{k^2 - (k-1)^2}{36} = \frac{2k-1}{36}$

したがって、$X$ の確率分布は次のようになります。

$P(X=1) = \frac{2(1)-1}{36} = \frac{1}{36}$

$P(X=2) = \frac{2(2)-1}{36} = \frac{3}{36}$

$P(X=3) = \frac{2(3)-1}{36} = \frac{5}{36}$

$P(X=4) = \frac{2(4)-1}{36} = \frac{7}{36}$

$P(X=5) = \frac{2(5)-1}{36} = \frac{9}{36}$

$P(X=6) = \frac{2(6)-1}{36} = \frac{11}{36}$

(2) $P(3 \le X \le 5)$ は、$P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ で計算できます。

$P(3 \le X \le 5) = \frac{5}{36} + \frac{7}{36} + \frac{9}{36} = \frac{5+7+9}{36} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $X$ の確率分布は

$P(X=1) = \frac{1}{36}$

$P(X=2) = \frac{3}{36}$

$P(X=3) = \frac{5}{36}$

$P(X=4) = \frac{7}{36}$

$P(X=5) = \frac{9}{36}$

$P(X=6) = \frac{11}{36}$

(2) $P(3 \le X \le 5) = \frac{7}{12}$