(1) $x$軸と2点$(4, 0)$と$(1, 0)$で交わり、$y$軸と$(0, -4)$で交わる2次関数を求める。 (2) 2つの2次関数 $y = x^2 - 3x$ と $y = \frac{1}{2}x^2 + ax + b$ のグラフの頂点が一致するように定数 $a, b$の値を求める。 (3) ① $x^2 + 4x - 1 < 0$ を解く。② $x^2 + 4x + 4 > 0$ を解く。 (4) 2次不等式 $ax^2 + bx + 6 > 0$ の解が $-2 < x < 3$ のとき、$a, b$ の値を求める。

## 回答

1. 問題の内容

(1) $x$軸と2点$(4, 0)$と$(1, 0)$で交わり、$y$軸と$(0, -4)$で交わる2次関数を求める。

(2) 2つの2次関数 $y = x^2 - 3x$ と $y = \frac{1}{2}x^2 + ax + b$ のグラフの頂点が一致するように定数 $a, b$の値を求める。

(3) ① $x^2 + 4x - 1 < 0$ を解く。② $x^2 + 4x + 4 > 0$ を解く。

(4) 2次不等式 $ax^2 + bx + 6 > 0$ の解が $-2 < x < 3$ のとき、$a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x$軸との交点が$(4, 0)$と$(1, 0)$なので、求める2次関数は $y = k(x - 4)(x - 1)$ と表せる。$y$軸との交点が$(0, -4)$なので、

$-4 = k(0 - 4)(0 - 1) = 4k$

したがって、$k = -1$。よって、求める2次関数は $y = -(x - 4)(x - 1) = -(x^2 - 5x + 4) = -x^2 + 5x - 4$。

(2) $y = x^2 - 3x = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$ より、頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$。

$y = \frac{1}{2}x^2 + ax + b = \frac{1}{2}(x^2 + 2ax) + b = \frac{1}{2}((x + a)^2 - a^2) + b = \frac{1}{2}(x + a)^2 - \frac{1}{2}a^2 + b$ より、頂点は $(-a, -\frac{1}{2}a^2 + b)$。

頂点が一致するので、$-a = \frac{3}{2}$、$-\frac{1}{2}a^2 + b = -\frac{9}{4}$。

$a = -\frac{3}{2}$、$-\frac{1}{2}(-\frac{3}{2})^2 + b = -\frac{9}{4}$ より、$-\frac{9}{8} + b = -\frac{18}{8}$ なので、$b = -\frac{9}{8}$。

(3) ① $x^2 + 4x - 1 < 0$。解の公式より、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(-1)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$。したがって、$-2 - \sqrt{5} < x < -2 + \sqrt{5}$。

② $x^2 + 4x + 4 > 0$。$(x + 2)^2 > 0$。$x \neq -2$ を満たす全ての実数。

(4) $ax^2 + bx + 6 > 0$ の解が $-2 < x < 3$ なので、$a < 0$ であり、$ax^2 + bx + 6 = a(x + 2)(x - 3) = a(x^2 - x - 6) = ax^2 - ax - 6a$。

したがって、$b = -a$、 $6 = -6a$。$a = -1$。$b = -a = -(-1) = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 5x - 4$

(2) $a = -\frac{3}{2}, b = -\frac{9}{8}$

(3) ① $-2 - \sqrt{5} < x < -2 + \sqrt{5}$　② $x \neq -2$

(4) $a = -1, b = 1$