以下の3つの関数が、指定された点において連続かどうかを判定します。 (1) $f(x) = \frac{2x+3}{x^2-1}$, $x=0$ (2) $f(x) = [x]$ (ただし$[x]$は $x$ を超えない最大の整数), $x=1$ (3) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$, $x=0$

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

以下の3つの関数が、指定された点において連続かどうかを判定します。

(1) $f(x) = \frac{2x+3}{x^2-1}$, $x=0$

(2) $f(x) = [x]$ (ただし$[x]$は $x$ を超えない最大の整数), $x=1$

(3) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$, $x=0$

2. 解き方の手順

関数が点 $x=a$ で連続であるとは、以下の3つの条件が成り立つことです。

(1) $f(a)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

(1) $f(x) = \frac{2x+3}{x^2-1}$, $x=0$ の場合

$f(0) = \frac{2(0)+3}{0^2-1} = \frac{3}{-1} = -3$

$f(0)$は定義されています。

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x+3}{x^2-1} = \frac{2(0)+3}{0^2-1} = \frac{3}{-1} = -3$

極限値が存在し、$f(0)$と等しいので、連続です。

(2) $f(x) = [x]$, $x=1$ の場合

$f(1) = [1] = 1$

$f(1)$は定義されています。

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} [x] = 0$

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} [x] = 1$

左極限と右極限が異なるため、$\lim_{x \to 1} f(x)$ は存在しません。

したがって、関数は$x=1$で連続ではありません。

(3) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$, $x=0$ の場合

$f(0) = 1$

$f(0)$は定義されています。

$x \neq 0$ のとき、 $f(x) = \frac{x^2}{x} = x$

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0$

極限値は $0$ で、$f(0) = 1$ なので、$\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$

したがって、関数は$x=0$で連続ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 連続である

(2) 連続でない

(3) 連続でない

したがって、答えはアです。