方程式 $\frac{e^x}{x} = a$ が実数解をもたないような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $\frac{e^x}{x} = a$ が実数解をもたないような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = \frac{e^x}{x}$ のグラフを考えます。このグラフと直線 $y = a$ が交点を持たないような $a$ の範囲を求めればよいことになります。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を計算します。

$f'(x) = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のときです。また、分母は常に正であるため、$x < 1$ のとき $f'(x) < 0$、 $x > 1$ のとき $f'(x) > 0$ となります。

次に、定義域を確認します。$x = 0$ では定義されていません。

$x \to +0$ のとき、$f(x) \to +\infty$ であり、$x \to -0$ のとき、$f(x) \to -\infty$ です。

また、$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to 0$ であり、$x \to +\infty$ のとき、$f(x) \to +\infty$ です。

$x=1$ のとき、$f(1) = e$ であり、これは極小値となります。

以上の情報から、$y=f(x)$ のグラフは、$x=0$ を境に分かれており、

$x < 0$ の範囲では $f(x)$ は $-\infty$ から $0$ に向かって増加し、$x > 0$ の範囲では、$x=1$ で極小値 $e$ をとり、$0$ から $+\infty$ で減少した後、$e$ から $+\infty$ へと増加します。

$f(x) = a$ が実数解を持たないのは、$a \le 0$ または $a < e$ のときですが、$a \leq 0$のとき、$x < 0$ で必ず解を持つので、$a \leq 0$は間違いです。

グラフと直線 $y = a$ が交点を持たないのは、$0 \le a < e$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le a < e$