問題は、関数 $y = \frac{2}{x}$ 上の点 $(1, 2)$ における接線の方程式と法線の方程式を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y = \frac{2}{x}$ 上の点 $(1, 2)$ における接線の方程式と法線の方程式を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求める。

まず、関数 $y = \frac{2}{x}$ を微分して、導関数を求めます。

$y = \frac{2}{x} = 2x^{-1}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$

点 $(1, 2)$ における接線の傾きは、

$\frac{dy}{dx}|_{x=1} = -\frac{2}{1^2} = -2$

したがって、接線の方程式は、傾きが-2で点(1, 2)を通るので、

$y - 2 = -2(x - 1)$

$y - 2 = -2x + 2$

$y = -2x + 4$

(2) 法線の方程式を求める。

法線は接線と直交する直線なので、法線の傾きは接線の傾きの逆数の符号を反転させたものになります。

接線の傾きは-2なので、法線の傾きは $\frac{1}{2}$ となります。

したがって、法線の方程式は、傾きが $\frac{1}{2}$ で点(1, 2)を通るので、

$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1)$

$y - 2 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 2$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $y = -2x + 4$

(2) 法線の方程式: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

選択肢の中で、(1)が $y = -2x + 4$、(2)が $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ となっているのはアです。

答え：ア