次の関係を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。 $$f(x) = x + \int_0^\pi f(t) \sin t dt$$ 選択肢は以下の通りです。 ア. $f(x) = x$ イ. $f(x) = x + \pi$ ウ. $f(x) = x - \pi$ エ. $f(x) = x - 1$ オ. $f(x) = x + 1$

1. 問題の内容

次の関係を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

$$f(x) = x + \int_0^\pi f(t) \sin t dt$$

選択肢は以下の通りです。

ア. $f(x) = x$

イ. $f(x) = x + \pi$

ウ. $f(x) = x - \pi$

エ. $f(x) = x - 1$

オ. $f(x) = x + 1$

2. 解き方の手順

与えられた積分方程式を解きます。

まず、積分 $\int_0^\pi f(t) \sin t dt$ は定数なので、$C = \int_0^\pi f(t) \sin t dt$ とおくと、

$$f(x) = x + C$$

となります。

次に、$C$ を求めるために、この式を元の積分に代入します。

$$C = \int_0^\pi (t+C) \sin t dt$$

$$C = \int_0^\pi t \sin t dt + C \int_0^\pi \sin t dt$$

部分積分を使って $\int_0^\pi t \sin t dt$ を計算します。

$u = t, dv = \sin t dt$ とすると、$du = dt, v = -\cos t$ なので、

$$\int_0^\pi t \sin t dt = [-t \cos t]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t dt = [-\pi \cos \pi - 0] + [\sin t]_0^\pi = -\pi(-1) + 0 = \pi$$

また、$\int_0^\pi \sin t dt = [-\cos t]_0^\pi = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$ です。

したがって、

$$C = \pi + 2C$$

$$C = -\pi$$

よって、$f(x) = x - \pi$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = x - \pi$

（選択肢ウ）