関数 $y = \cos x$ ($\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$), x軸、および $x = \frac{\pi}{4}$ で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos x$ ($\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$), x軸、および $x = \frac{\pi}{4}$ で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を用いて計算できます。

回転体の体積Vは、次の式で与えられます。

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

この問題の場合、$f(x) = \cos x$, $a = \frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{2}$ なので、次のようになります。

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^2 dx$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を利用して積分を計算します。

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx$

$V = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi \right) - \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} \right) \right]$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right]$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right]$

$V = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$