方程式 $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

方程式 $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、方程式の両辺に $2x(x-2)$ を掛けて分母を払います。

$2x(x-2) \left( \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} \right) = 2x(x-2) \left( \frac{1}{2} \right)$

$2x + 2(x-2) = x(x-2)$

$2x + 2x - 4 = x^2 - 2x$

$4x - 4 = x^2 - 2x$

次に、すべての項を右辺に移項して整理します。

$0 = x^2 - 2x - 4x + 4$

$0 = x^2 - 6x + 4$

これは二次方程式なので、解の公式を使って解きます。解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられます。この問題では、$a = 1$, $b = -6$, $c = 4$ なので、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

$x = 3 \pm \sqrt{5}$

ここで、解が $x=2$または$x=0$とならないか確認する必要があります。

$x=3+\sqrt{5} \approx 5.236$

$x=3-\sqrt{5} \approx 0.764$

どちらも$x=2$または$x=0$ではないので問題ありません。

3. 最終的な答え

$x = 3 + \sqrt{5}$, $x = 3 - \sqrt{5}$