二次関数 $y = 2x^2 - 2x + \frac{5}{4}$ について、以下のものを求める。 * 頂点の座標 * $y$切片 * $x$軸との交点（$x$切片）

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2x^2 - 2x + \frac{5}{4}$ について、以下のものを求める。

* 頂点の座標

* $y$切片

* $x$軸との交点（$x$切片）

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 2x + \frac{5}{4}$

$y = 2(x^2 - x) + \frac{5}{4}$

$y = 2\left[\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right] + \frac{5}{4}$

$y = 2\left[\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right] + \frac{5}{4}$

$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + \frac{5}{4}$

$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

平方完成された式より、頂点の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ である。

$y$切片を求めるには、$x = 0$ を代入する。

$y = 2(0)^2 - 2(0) + \frac{5}{4} = \frac{5}{4}$

したがって、$y$切片は $\frac{5}{4}$ である。

$x$軸との交点を求めるには、$y = 0$ とおいて、$x$について解く。

$0 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

$-\frac{3}{4} = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2$

$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{3}{8}$

実数の範囲では、二乗して負の数になることはないので、$x$軸との交点はない。

3. 最終的な答え

* 頂点の座標: $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$

* $y$切片: $\frac{5}{4}$

* $x$軸との交点: なし